Para QUINTA
integral Lx^2+x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida integral Lx^2 + x + 1,dx. O conteúdo envolve frações racionais, completar quadrado no denominador e usar a primitiva padrão de integral duu^2 + a^2 = tfrac1aarctanl(tfracuar) + C.

Passo 2

Como L é constante, podemos tirá-lo para fora da integral:
integral Lx^2 + x + 1,dx = L integral 1x^2 + x + 1,dx
Agora vamos completar o quadrado em x^2 + x + 1.

Passo 3

Escrevendo
x^2 + x + 1 = x^2 + x + tfrac14 + tfrac34 = l(x + tfrac12r)^2 + tfrac34

Passo 4

Fazendo a troca t = x + tfrac12, então dt = dx, a integral vira
L integral 1t^2 + l(tfracraiz32r)^2,dt

Passo 5

Usamos a primitiva
integral dtt^2 + a^2 = 1aarctanl(tfractar) + C
com a = tfracraiz32.
Logo
L cdot 1aarctanl(tfractar) = L cdot 2raiz3arctanl(tfractraiz3/2r) + C = 2Lraiz3arctanl(tfrac2traiz3r) + C

Passo 6

Voltando a x, lembrando que t = x + tfrac12, a resposta final fica
2Lraiz3arctanl(2x + 1raiz3r) + C

Resposta

2Lraiz3arctanl(2x + 1raiz3r) + C

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