Determine as constantes a e b de modo que:
lim x +infty f(x)=1 e lim x -2 f(x)=12 sendo f(x)=a x^2+b xx^2-4.

Passo 1

O enunciado pede para achar constantes a e b de modo que a função f(x)= a x^2+b xx^2-4 satisfaz limxto+inftyf(x)=1 e limxto-2f(x)=tfrac12. Vamos usar conceitos de limites no infinito (assíntota horizontal) e limites em ponto de descontinuidade.

Passo 2

Para calcular limxto+inftyf(x), observamos que os dois polinômios têm mesmo grau (2). Nesse caso a assíntota horizontal é dada pela razão dos coeficientes dos termos de maior grau. Assim,
limxto+inftya x^2+b xx^2-4=a1=1,
o que implica
a=1

Passo 3

Para que limxto-2f(x) seja finito (e igual a tfrac12), a descontinuidade em x=-2 deve ser removível. Isso exige que o numerador se anule em x=-2. Ou seja,
a(-2)^2+b(-2)=0Longrightarrow4a-2b=0
Como já encontramos a=1, substituímos na equação acima:
4cdot1-2b=0Longrightarrow2b=4Longrightarrow b=2

Passo 4

Para conferir, note que com a=1,b=2 temos
f(x)=x^2+2xx^2-4=x(x+2)(x-2)(x+2)=xx-2(xneqpm2),
e então
limxto-2f(x)=limxto-2xx-2=-2-4=tfrac12,
o que confirma a escolha de b=2.

Resposta

a=1 e b=2

Exercícios relacionados