Determine o menor e o maior valor de
se
pertence ao segmento de reta de equação
, com
. Resposta:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o menor e o maior valor da função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2} + y} $ quando o ponto
está na reta de equação $ y + x - 1 = 0 $ e $ 0 \leq x \leq 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e otimização em um intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a situação. A reta dada é $ y + x - 1 = 0 $, o que nos permite expressar $ y $ em termos de $ x $. Resolvendo para $ y $:
Agora, substituímos essa expressão na função $ f(x, y) $:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão dentro do expoente:
Então, a função fica:
Passo 4
Para encontrar os valores mínimo e máximo de $ f(x) $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $, precisamos analisar onde a função atinge seus pontos críticos dentro desse intervalo. Vamos derivar $ f(x) $ em relação a $ x $:
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Agora, vamos calcular $ f(x) $ nos pontos $ x = 0 $, $ x = \frac{3}{4} $ e $ x = 1 $:
-
Para $ x = 0 $:
-
Para $ x = \frac{3}{4} $:
-
Para $ x = 1 $:
Resposta
O menor valor de $ f(x, y) $ é $ e^{\frac{7}{8}} $ e o maior valor é $ e^{2} $.