Determine o menor e o maior valor de f(x, y)=e^x^2+y^2+y se (x, y) pertence ao segmento de reta de equação y+x-1=0, com 0 <= x <= 1. Resposta: e^2 e e^7 / 8.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o menor e o maior valor da função $ f(x, y) = e{x{2} + y^{2} + y} $ quando o ponto f(x, y) = e^x^2 + y^2 + y está na reta de equação $ y + x - 1 = 0 $ e $ 0 \leq x \leq 1 $. Para isso, vamos usar conceitos de funções de duas variáveis e otimização em um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a situação. A reta dada é $ y + x - 1 = 0 $, o que nos permite expressar $ y $ em termos de $ x $. Resolvendo para $ y $:
y + x - 1 = 0
Agora, substituímos essa expressão na função $ f(x, y) $:
y

Passo 3

Vamos simplificar a expressão dentro do expoente:
x^2 + (1 - x)^2 + (1 - x) = x^2 + (1 - 2x + x^2) + 1 - x = 2x^2 - 3x + 2
Então, a função fica:
f(x) = e^2x^2 - 3x + 2

Passo 4

Para encontrar os valores mínimo e máximo de $ f(x) $ no intervalo $ 0 \leq x \leq 1 $, precisamos analisar onde a função atinge seus pontos críticos dentro desse intervalo. Vamos derivar $ f(x) $ em relação a $ x $:
f(x)
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
0 <= x <= 1
Agora, vamos calcular $ f(x) $ nos pontos $ x = 0 $, $ x = \frac{3}{4} $ e $ x = 1 $:
  1. Para $ x = 0 $:
    f(x)
  2. Para $ x = \frac{3}{4} $:
    x
  3. Para $ x = 1 $:
    f'(x) = e^2x^2 - 3x + 2 cdot (4x - 3)

Resposta

O menor valor de $ f(x, y) $ é $ e^{\frac{7}{8}} $ e o maior valor é $ e^{2} $.

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