Determine as constantes a, b, c e d de modo que:
lim x +infty f(x)=3 e lim x -2 f(x)=1, sendo f(x)=a x^3+b x^2+c x+d4 x^2+4 x-8

Passo 1

O enunciado nos dá a função racional
f(x)=a x^3+b x^2+c x+d4 x^2+4 x-8
com as condições
limxto+inftyf(x)=3 e limxto-2f(x)=1.
O conteúdo aqui é limite de função racional no infinito (graus dos polinômios) e limite num ponto de descontinuidade removível (fatoração para cancelar zero em x=-2).

Passo 2

Para limxto+inftyf(x) ser finito, o grau do numerador não pode exceder 2. Logo
a=0
Com isso, quando xto+infty vale
f(x)simb x^24x^2=b4,
e queremos b4=3. Assim
b=12

Passo 3

O denominador fatora como
4x^2+4x-8=4(x+2)(x-1),
logo zera em x=-2. Para evitar pólo e obter limite finito em -2, o numerador também deve zerar em x=-2. Com a=0 e b=12, impomos
12(-2)^2+c(-2)+d=0 Longrightarrow 48-2c+d=0 Longrightarrow d=2c-48

Passo 4

Escrevendo o numerador como
12x^2+c x + d=(x+2)(12x+m),
expansão dá m+24=c e 2m=d, compatível com d=2(c-24). Após cancelar (x+2),
f(x)=12x+c-244(x-1)
Então
limxto-2f(x) =12(-2)+c-244(-2-1) =c-48-12
queremos igual a 1, logo
c-48-12=1 Longrightarrow c=36,
e então
d=2cdot36-48=24

Resposta

a=0,;b=12,;c=36,;d=24

Exercícios relacionados