2.8D Estratégia para testar a convergência. Nos fundamentos teóricos estabelecemos vários critérios para testar a convergência ou divergência de uma série numérica; a dificuldade é: qual o teste adequado a uma determinada série. Essa dificuldade também surge quando se integra funções. Não há regra que estabeleça qual critério se aplica a qual série. Como sugestão, apresentamos um roteiro que poderá ajudar na investigação.
  1. Se lim an neq 0 ou a seqüência an é divergente o critério do n-ésimo termo deve ser usado para concluir que a série sum an diverge;
  2. Se a série é da forma sum alpha r^n-1 ela é uma série geométrica, que converge para alpha /(1-r) se |r|<1 e diverge se |r| >= 1;
  3. Se a série é da forma sum(bn-bn+1) ela é uma série de encaixe, que converge para b1-lim bn, se bn convergir. Se bn divergir a série de encaixe também diverge;
  4. Se a série é da forma sum 1 / n^p ela é uma p-série e será convergente apenas quando p>1;
  5. Tente o Teste da Razão seguindo o esquema:
& l<1 sumn=1^infty an conver>= abs Fim & l=lim |an+1an| longrightarrow l>1 ou l=infty longrightarrow sumn=1^infty an diver>= longrightarrow Fim & & boxedl=1 longrightarrow ? sumn=1^infty|an| longrightarrow Critérios Comparação / Integral & searrow & A<ernada longrightarrow Critério de Leibniz éçãé
Teste a convergência das séries:
sumn=1^infty (2^n+3^n)^1 / nn

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
sumn=1^infty(2^n+3^n)^1/nn
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas; vamos aplicar o teste do termo geral, o teste da razão e, por fim, o teste de comparação por limite.

Passo 2

Primeiro, verificamos o teste do termo geral. Definimos
an = (2^n+3^n)^1/nn
Note que
(2^n+3^n)^1/n =3l(1+(2/3)^nr)^1/n ;xrightarrow[ntoinfty];3,
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limntoinftyan =limntoinfty3+o(1)n =0
Como lim an=0, o teste do termo geral não nos diz se converge ou diverge.

Passo 3

Agora, aplicamos o teste da razão:
limntoinfty|an+1an| =limntoinfty l(2^n+1+3^n+1r)^1/(n+1)/(n+1) l(2^n+3^nr)^1/n/n =limntoinftynn+1, (2^n+1+3^n+1)^1/(n+1)(2^n+3^n)^1/n =1
Como o limite é 1, o teste da razão também é inconclusivo.

Passo 4

Finalmente, usamos o teste de comparação por limite com a série harmônica sum1/n. Calculamos
limntoinftyan1/n =limntoinftyn,an =limntoinfty(2^n+3^n)^1/n =3
Esse limite é finito e não nulo, portanto sum an e sum1/n têm o mesmo comportamento. Como sum1/n diverge, concluímos que sum an também diverge.

Resposta

A série diverge.

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