Questão 1 (3.0 pts) Calcule integralW f d V, onde f e W são dados por:
(a) f(x, y, z)=x^2+y^2, W: 4 <= x^2+y^2+z^2 <= 9;

Passo 1

O enunciado quer calcular a integral tripla
integralW(x^2+y^2),dV,
onde W é a casca esférica definida por
4 <= x^2+y^2+z^2<= 9
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas esféricas, pois a região é uma “casca” entre raios raiz4=2 e raiz9=3.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com jacobiano
dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Nesse caso
x^2+y^2=rho^2sin^2phi,
logo o integrando fica
(x^2+y^2),dV =rho^2sin^2phi;l(rho^2sinphi,drho,dphi,dthetar) =rho^4,sin^3phi,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Agora montamos a integral em três variáveis:
integralW(x^2+y^2),dV =integraltheta=0^2pi!integralphi=0^pi!integralrho=2^3 rho^4sin^3phi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Integramos primeiro em theta:
integral0^2pidtheta=2pi,
deixando
2piintegral0^pisin^3phi,dphi; integral2^3rho^4,drho

Passo 5

Calculamos a parte angular em phi:
integral0^pisin^3phi,dphi =43
E a parte radial em rho:
integral2^3rho^4,drho =l[rho^55r]2^3 =3^5-2^55 =243-325 =2115

Passo 6

Juntando tudo:
integralW(x^2+y^2),dV =2pi;times;43;times;2115 =8pi3;times;2115 =1688pi15

Resposta

integralW(x^2+y^2),dV = 1688pi15

Exercícios relacionados