Determine as constantes a e b de modo que g seja derivável em x=1, sendo g(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x^{2}+b, & x \leq 1 \\\ x^{-1}, & x>1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado define
g(x)= \begin{cases} a x^{2}+b, & x\le1,\\\ x^{-1}, & x>1, \end{cases}
e pede os valores de a e b para que g seja derivável em x=1. Para isso precisamos garantir:
continuidade em x=1, isto é, g(1^-)=g(1^+);
igualdade das derivadas laterais em x=1, isto é, g'_-(1)=g'_+(1).
Passo 2
Condição de continuidade:
g(1^-)=a\cdot1^{2}+b=a+b,
g(1^+)=1^{-1}=1.
Igualando:
a+b=1.
Passo 3
Condição de derivabilidade: derivada à esquerda em x=1 é