Determine as constantes a e b de modo que g seja derivável em x=1, sendo g(x)=\left\{\begin{array}{cc}a x^{2}+b, & x \leq 1 \\\ x^{-1}, & x>1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define
g(x)= \begin{cases} a x^{2}+b, & x\le1,\\\ x^{-1}, & x>1, \end{cases}
e pede os valores de a e b para que g seja derivável em x=1. Para isso precisamos garantir:
  1. continuidade em x=1, isto é, g(1^-)=g(1^+);
  2. igualdade das derivadas laterais em x=1, isto é, g'_-(1)=g'_+(1).

Passo 2

Condição de continuidade:
g(1^-)=a\cdot1^{2}+b=a+b,
g(1^+)=1^{-1}=1.
Igualando:
a+b=1.

Passo 3

Condição de derivabilidade: derivada à esquerda em x=1 é
g'_-(1)=\frac{d}{dx}(a x^{2}+b)\Big|_{x=1}=2a\cdot1=2a,
e derivada à direita é
g'_+(1)=\frac{d}{dx}(x^{-1})\Big|_{x=1}=-1\cdot1^{-2}=-1.
Igualando 2a=-1 resulta
a=-\tfrac12.

Passo 4

Substituindo a=-\tfrac12 na equação da continuidade a+b=1:
-\tfrac12 + b =1 \quad\Longrightarrow\quad b=1+\tfrac12=\tfrac32.

Resposta

a=-\tfrac12,\quad b=\tfrac32.

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