Determine se f é contínua em x=0. Se não for, indique o tipo de descontinuidade.
f(x)=raizx^3+x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: “Determine se f é contínua em x=0. Se não for, indique o tipo de descontinuidade.” A função dada é f(x) = raizx^3 + x. Vamos usar os conceitos de continuidade de funções e limites para descobrir se a função é contínua nesse ponto e, se não for, qual tipo de descontinuidade ela apresenta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função f é contínua em x = a se três condições forem satisfeitas:
  1. f(a) está definida: ou seja, a função tem um valor específico em a.
  2. O limite de f(x) quando x se aproxima de a existe.
  3. O limite e o valor da função são iguais: limlimitsx to a f(x) = f(a).
Vamos verificar cada uma dessas condições para x = 0.

Passo 3

1. Verificando se f(0) está definida:
Substituímos x por 0 na função:
f(0) = raiz0^3 + 0 = raiz0 = 0
Então, f(0) está definida e vale 0.

Passo 4

2. Calculando o limite de f(x) quando x se aproxima de 0:
Aqui, precisamos verificar os limites pela esquerda e pela direita de 0.
  • Limite pela direita ( x to 0^+):
Quando x se aproxima de 0 pela direita (valores positivos próximos de 0), a expressão dentro da raiz fica:
x^3 + x = x(x^2 + 1)
Como x^2 + 1 é sempre positivo e x está se aproximando de 0 pela direita, x^3 + x também é positivo. Então:
limlimitsx to 0^+ raizx^3 + x = raiz0 = 0
  • Limite pela esquerda ( x to 0^-):
Quando x se aproxima de 0 pela esquerda (valores negativos próximos de 0), vamos ver se a expressão dentro da raiz é real:
x^3 + x = x(x^2 + 1)
Aqui, x^2 + 1 é sempre positivo, mas x é negativo. Então, x^3 + x fica negativo. Porém, a raiz quadrada de um número negativo não é real no conjunto dos números reais. Isso significa que:
limlimitsx to 0^- raizx^3 + x não existe ã

Passo 5

3. Comparando o limite com o valor da função:
O limite pela direita é 0, e o limite pela esquerda não existe. Como o limite geral (simultaneamente pela direita e pela esquerda) não existe, a função não é contínua em x = 0.

Passo 6

Identificando o tipo de descontinuidade:
Como a função não está definida quando se aproxima de 0 pela esquerda (os valores da função não existem nesse lado), temos uma descontinuidade de salto, também conhecida como descontinuidade de primeira espécie.

Resposta

A função f(x) = raizx^3 + x não é contínua em x = 0 e apresenta uma descontinuidade de salto nesse ponto.

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