Determine se
é contínua em
. Se não for, indique o tipo de descontinuidade.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta é: “Determine se
é contínua em
. Se não for, indique o tipo de descontinuidade.” A função dada é
. Vamos usar os conceitos de continuidade de funções e limites para descobrir se a função é contínua nesse ponto e, se não for, qual tipo de descontinuidade ela apresenta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
-
está definida: ou seja, a função tem um valor específico em . - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite e o valor da função são iguais:
.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Verificando se
está definida:
Substituímos
por
na função:
Então,
está definida e vale
.
Passo 4
2. Calculando o limite de
quando
se aproxima de
:
Aqui, precisamos verificar os limites pela esquerda e pela direita de
.
- Limite pela direita (
):
Quando
se aproxima de
pela direita (valores positivos próximos de
), a expressão dentro da raiz fica:
Como
é sempre positivo e
está se aproximando de
pela direita,
também é positivo. Então:
- Limite pela esquerda (
):
Quando
se aproxima de
pela esquerda (valores negativos próximos de
), vamos ver se a expressão dentro da raiz é real:
Aqui,
é sempre positivo, mas
é negativo. Então,
fica negativo. Porém, a raiz quadrada de um número negativo não é real no conjunto dos números reais. Isso significa que:
Passo 5
3. Comparando o limite com o valor da função:
O limite pela direita é
, e o limite pela esquerda não existe. Como o limite geral (simultaneamente pela direita e pela esquerda) não existe, a função não é contínua em
.
Passo 6
Identificando o tipo de descontinuidade:
Como a função não está definida quando se aproxima de
pela esquerda (os valores da função não existem nesse lado), temos uma descontinuidade de salto, também conhecida como descontinuidade de primeira espécie.
Resposta
A função
não é contínua em
e apresenta uma descontinuidade de salto nesse ponto.