O que significa dizer que
é contínua em
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar o que significa dizer que a função $ f(x, y) $ é contínua no ponto $ (a, b) $. Estamos trabalhando com o conteúdo de continuidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é continuidade em geral e como ela se aplica quando temos duas variáveis envolvidas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade para funções de uma variável. Uma função $ g(x) $ é contínua num ponto $ c $ se o limite de $ g(x) $ quando $ x $ se aproxima de $ c $ é igual a $ g© $. Ou seja:
Isso garante que não há “saltos” ou “interrupções” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 3
Agora, quando temos uma função de duas variáveis, como $ f(x, y) $, a ideia é semelhante, mas agora consideramos a aproximação ao ponto $ (a, b) $ por qualquer caminho. Ou seja, a função $ f $ é contínua em $ (a, b) $ se, independentemente de como nos aproximamos desse ponto, o valor de $ f(x, y) $ sempre se aproxima de $ f(a, b) $.
Passo 4
Para formalizar isso, usamos o conceito de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
Isso significa que à medida que $ (x, y) $ se aproxima de $ (a, b) $, o valor de $ f(x, y) $ se aproxima de $ f(a, b) $.
Passo 5
Portanto, dizer que $ f(x, y) $ é contínua em $ (a, b) $ significa que não há interrupções no “gráfico” da função naquele ponto. Em termos práticos, podemos desenhar o gráfico sem levantar o lápis ali.
Resposta
Então, $ f(x, y) $ é contínua em $ (a, b) $ quando o limite de $ f(x, y) $ conforme $ (x, y) $ se aproxima de $ (a, b) $ é igual a $ f(a, b) $, ou seja: