Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede: determinar se a série
converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a série é a soma dos termos para
inteiro positivo. Observação prática:
torna o termo para
indefinido, portanto consideramos naturalmente a série a partir de
, ou seja
.
Pergunta explícita: a série converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita)?
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a série é a soma dos termos
Pergunta explícita: a série
Passo 2
Escolhendo um método: aqui é natural usar o Teste da Integral (integral test) porque os termos são positivos e a função contínua relacionada
é simples de integrar por substituição e tem comportamento fácil de analisar para grandes
. Vou justificar e aplicar o teste. Lembre-se: o Teste da Integral diz que, se
é contínua, positiva e monotonicamente decrescente, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge.
Passo 3
Verificando as hipóteses do Teste da Integral para
em um intervalo
adequado.
- Positividade: para
temos , então . Escolhemos (porque ). - Continuidade:
é contínua para (nenhum zero de denominador ali). - Monotonicidade decrescente (para
): calcular a derivada
Para
temos
, logo
. Portanto
é decrescente em
. Assim todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas para
.
Passo 4
Aplicando o Teste da Integral: devemos estudar a integral imprópria
Fazemos a substituição
. Então
, ou seja
(porque
). Quando
temos
; quando
temos
. A integral transforma-se em
Passo 5
Mostrando que
diverge. Observe que, para
,
pois a função
tem derivada
em
, então
é crescente e
, logo
para todo
. Assim para
vale
Portanto, comparando integrais,
Logo a integral
diverge (é infinita).
Passo 6
Concluindo pelo Teste da Integral: como
diverge, o Teste da Integral garante que a série
também diverge. Intuição final: os termos
decrescem muito lentamente (muito mais devagar que
na escala transformada pelo log), por isso a soma vai ao infinito.
Resposta
Diverge.