Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
\sum \frac{1}{\log n};

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a série \sum \frac{1}{\log n} converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: a série é a soma dos termos \dfrac{1}{\log n} para n inteiro positivo. Observação prática: \log 1=0 torna o termo para n=1 indefinido, portanto consideramos naturalmente a série a partir de n=2, ou seja \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{\log n}.
Pergunta explícita: a série \sum_{n=2}^{\infty} \dfrac{1}{\log n} converge (tem soma finita) ou diverge (soma infinita)?

Passo 2

Escolhendo um método: aqui é natural usar o Teste da Integral (integral test) porque os termos são positivos e a função contínua relacionada \dfrac{1}{\log x} é simples de integrar por substituição e tem comportamento fácil de analisar para grandes x. Vou justificar e aplicar o teste. Lembre-se: o Teste da Integral diz que, se f:(a,\infty)\to(0,\infty) é contínua, positiva e monotonicamente decrescente, então a série \sum_{n=\lceil a\rceil}^{\infty} f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{a}^{\infty} f(x)\,dx converge.

Passo 3

Verificando as hipóteses do Teste da Integral para f(x)=\dfrac{1}{\log x} em um intervalo [A,\infty) adequado.
  • Positividade: para x>1 temos \log x>0, então f(x)>0. Escolhemos A=e (porque \log e=1).
  • Continuidade: f é contínua para x>1 (nenhum zero de denominador ali).
  • Monotonicidade decrescente (para x>1): calcular a derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\log x}\right) = -\frac{1}{x(\log x)^2}.
Para x>1 temos x(\log x)^2>0, logo f'(x)<0. Portanto f é decrescente em (1,\infty). Assim todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas para x\ge e.

Passo 4

Aplicando o Teste da Integral: devemos estudar a integral imprópria
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx.
Fazemos a substituição t=\log x. Então dt=\dfrac{dx}{x}, ou seja dx = e^{t}\,dt (porque x=e^{t}). Quando x=e temos t=1; quando x\to\infty temos t\to\infty. A integral transforma-se em
\int_{e}^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx \;=\; \int_{1}^{\infty} \frac{e^{t}}{t}\,dt.

Passo 5

Mostrando que \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{e^{t}}{t}\,dt diverge. Observe que, para t\ge 1,
e^{t}>t,
pois a função g(t)=e^{t}-t tem derivada g'(t)=e^{t}-1\ge e-1>0 em [1,\infty), então g é crescente e g(1)=e-1>0, logo e^{t}-t>0 para todo t\ge1. Assim para t\ge1 vale
\frac{e^{t}}{t} > \frac{t}{t} = 1.
Portanto, comparando integrais,
\int_{1}^{\infty} \frac{e^{t}}{t}\,dt \;\ge\; \int_{1}^{\infty} 1\,dt = \infty.
Logo a integral \displaystyle \int_{1}^{\infty} \frac{e^{t}}{t}\,dt diverge (é infinita).

Passo 6

Concluindo pelo Teste da Integral: como \displaystyle \int_{e}^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx=\int_{1}^{\infty} \frac{e^{t}}{t}\,dt diverge, o Teste da Integral garante que a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\log n} também diverge. Intuição final: os termos \dfrac{1}{\log n} decrescem muito lentamente (muito mais devagar que \dfrac{1}{n} na escala transformada pelo log), por isso a soma vai ao infinito.

Resposta

Diverge.

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