Se
e
para todo
, encontre
.
Passo 1
O que o enunciado diz e o que pede:\n
- É dado que
.\n - É dado que
para todo .\n - O que se pede: encontrar
, isto é, o valor da segunda derivada de no ponto .\n
Passo 2
Ideia geral para obter
:\n
- A segunda derivada
é a derivada da primeira derivada .\n - Como temos uma expressão para
em termos de e , vamos derivar essa expressão para obter e depois avaliar em .\n
Passo 3
Lembrete do produto de funções (regra do produto):\n
- Se
e são funções diferenciáveis, a derivada do produto é
- Aqui vamos aplicar essa regra com
e .\n
Passo 4
Aplicando a regra do produto em
:\n
- Derivando ambos os lados em relação a
obtemos
- Aplicando a regra do produto com
e :
- Calculando
, temos
Passo 5
Eliminar
usando a informação dada: \n
- Sabemos que
. Substituindo isso na expressão de obtemos
- Simplificando o segundo termo
, então
Passo 6
Avaliar em
usando
:\n
- Primeiro calcular o coeficiente em
:
- Portanto
- Como
, temos