Se f(2)=10 e f^{\prime}(x)=x^{2} f(x) para todo x, encontre f^{\prime \prime}(2).

Passo 1

O que o enunciado diz e o que pede:\n
  • É dado que f(2)=10.\n
  • É dado que f^{\prime}(x)=x^{2}f(x) para todo x.\n
  • O que se pede: encontrar f^{\prime\prime}(2), isto é, o valor da segunda derivada de f no ponto x=2.\n

Passo 2

Ideia geral para obter f^{\prime\prime}(2):\n
  • A segunda derivada f^{\prime\prime}(x) é a derivada da primeira derivada f^{\prime}(x).\n
  • Como temos uma expressão para f^{\prime}(x) em termos de x e f(x), vamos derivar essa expressão para obter f^{\prime\prime}(x) e depois avaliar em x=2.\n

Passo 3

Lembrete do produto de funções (regra do produto):\n
  • Se u(x) e v(x) são funções diferenciáveis, a derivada do produto é
(u\cdot v)' = u'\cdot v + u\cdot v'.
  • Aqui vamos aplicar essa regra com u(x)=x^{2} e v(x)=f(x).\n

Passo 4

Aplicando a regra do produto em f^{\prime}(x)=x^{2}f(x):\n
  • Derivando ambos os lados em relação a x obtemos
f^{\prime\prime}(x) = \frac{d}{dx}\bigl(x^{2}f(x)\bigr).
  • Aplicando a regra do produto com u(x)=x^{2} e v(x)=f(x):
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}f(x)\bigr) = (x^{2})'\,f(x) + x^{2}\,f'(x).
  • Calculando (x^{2})' = 2x, temos
f^{\prime\prime}(x) = 2x\,f(x) + x^{2}\,f'(x).

Passo 5

Eliminar f'(x) usando a informação dada: \n
  • Sabemos que f'(x)=x^{2}f(x). Substituindo isso na expressão de f^{\prime\prime}(x) obtemos
f^{\prime\prime}(x) = 2x\,f(x) + x^{2}\bigl(x^{2}f(x)\bigr).
  • Simplificando o segundo termo x^{2}\cdot x^{2}f(x)=x^{4}f(x), então
f^{\prime\prime}(x) = \bigl(2x + x^{4}\bigr)f(x).

Passo 6

Avaliar em x=2 usando f(2)=10:\n
  • Primeiro calcular o coeficiente em x=2:
2x + x^{4}\Big|_{x=2} = 2\cdot 2 + 2^{4} = 4 + 16 = 20.
  • Portanto
f^{\prime\prime}(2) = 20 \cdot f(2).
  • Como f(2)=10, temos
f^{\prime\prime}(2) = 20 \cdot 10 = 200.

Resposta

200

Exercícios relacionados