Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
\sum \frac{1}{n^{2} \log n};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum \frac{1}{n^{2}\log n}
converge ou diverge. Informação importante dada pelo enunciado:
  • A expressão \frac{1}{n^{2}\log n} não está definida em n=1 porque \log 1=0. Portanto devemos interpretar a série a partir de n=2: \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\log n}.
  • Para n\ge2 cada termo \frac{1}{n^{2}\log n} é positivo (assumindo log natural ou qualquer log com base >1).
    A pergunta é: essa série de termos positivos converge ou diverge?

Passo 2

Vamos lembrar de um resultado muito útil (que vou explicar): a série p (p-series)
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Esse resultado é padrão e frequentemente usado em provas. A ideia por trás dele pode ser vista pelo Teste da Integral — eu mostro abaixo um cálculo rápido para fixar a intuição.

Passo 3

Aplicando o Teste da Integral ao caso \int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx: calculamos
\int_{1}^{\infty} x^{-p}\,dx = \lim_{A\to\infty}\int_{1}^{A} x^{-p}\,dx.
Para p\neq1 temos
\int_{1}^{A} x^{-p}\,dx = \left[\frac{x^{1-p}}{1-p}\right]_{1}^{A} = \frac{A^{1-p}-1}{1-p}.
  • Se p>1, então 1-p<0 e A^{1-p}\to 0 quando A\to\infty, logo a integral converge (valor finito).
  • Se p\le1, a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a série \sum 1/n^{p} tem o mesmo comportamento (converge se e só se p>1).
    Exemplo concreto: para p=2 sabemos que \sum 1/n^{2} converge (é a clássica série de p com p=2).

Passo 4

Comparação direta: para n\ge2 sabemos que \log n \ge \log 2>0. Então
\frac{1}{n^{2}\log n} \le \frac{1}{n^{2}\log 2} = \frac{1}{\log 2}\cdot\frac{1}{n^{2}}.
Isto mostra que cada termo da nossa série é menor ou igual a um múltiplo constante dos termos da série \sum 1/n^{2}.

Passo 5

Como \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (pelo resultado do passo 3 com p=2>1), e a nossa série tem termos positivos satisfazendo
0 \le \frac{1}{n^{2}\log n} \le \frac{1}{\log 2}\cdot\frac{1}{n^{2}}
para todo n\ge2, podemos aplicar o Teste da Comparação Direta: uma série com termos não negativos menor termo a termo que uma série convergente também converge. Portanto
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^{2}\log n}
converge.

Passo 6

Observação final e interpretação para a prova: a comparação usada foi simples e eficiente — quando tiver um fator extra no denominador (aqui \log n), frequentemente dá para comparar com a p-série básica \sum 1/n^{p}. Como os termos são positivos, bastou encontrar uma constante C tal que \frac{1}{n^{2}\log n}\le C\cdot\frac{1}{n^{2}}. Dica prática: sempre verifique a positividade e o índice inicial (aqui n=2) antes de aplicar comparação.

Resposta

Converge (convergência absoluta).

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