Determine se converge ou diverge cada uma das séries abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge. Informação importante dada pelo enunciado:
- A expressão
não está definida em porque . Portanto devemos interpretar a série a partir de : . - Para
cada termo é positivo (assumindo log natural ou qualquer log com base >1).
A pergunta é: essa série de termos positivos converge ou diverge?
Passo 2
Vamos lembrar de um resultado muito útil (que vou explicar): a série p (p-series)
converge se, e somente se,
. Esse resultado é padrão e frequentemente usado em provas. A ideia por trás dele pode ser vista pelo Teste da Integral — eu mostro abaixo um cálculo rápido para fixar a intuição.
Passo 3
Aplicando o Teste da Integral ao caso
: calculamos
Para
temos
- Se
, então e quando , logo a integral converge (valor finito). - Se
, a integral diverge. Pelo Teste da Integral, a série tem o mesmo comportamento (converge se e só se ).
Exemplo concreto: parasabemos que converge (é a clássica série de p com ).
Passo 4
Comparação direta: para
sabemos que
. Então
Isto mostra que cada termo da nossa série é menor ou igual a um múltiplo constante dos termos da série
.
Passo 5
Como
converge (pelo resultado do passo 3 com
), e a nossa série tem termos positivos satisfazendo
para todo
, podemos aplicar o Teste da Comparação Direta: uma série com termos não negativos menor termo a termo que uma série convergente também converge. Portanto
converge.
Passo 6
Observação final e interpretação para a prova: a comparação usada foi simples e eficiente — quando tiver um fator extra no denominador (aqui
), frequentemente dá para comparar com a p-série básica
. Como os termos são positivos, bastou encontrar uma constante
tal que
. Dica prática: sempre verifique a positividade e o índice inicial (aqui
) antes de aplicar comparação.
Resposta
Converge (convergência absoluta).