[1] Considere
o conjunto dos números inteiros.
(a) Considere
ímpar, então
Calcule
e verifique que
é ímpar;
(b) Considere
, tal que
seja ímpar. Verifique que
é ímpar.
(a) Considere
(b) Considere
Passo 1
O enunciado pede duas coisas separadas:
(a) Começando com um inteiro ímpar, ou seja, sabendo que existe
tal que
, calcular
e verificar que esse quadrado é ímpar.
(b) Começando com um inteiro tal que
é ímpar, verificar que
é ímpar.
(a) Começando com um inteiro
(b) Começando com um inteiro
Informações dadas e relevantes:
- Para (a) sabemos explicitamente que
para algum . - Para (b) sabemos apenas que
e que é ímpar.
Nada mais será assumido; vamos desenvolver passo a passo as demonstrações pedidas.
Passo 2
Antes de começar a manipular fórmulas, vamos lembrar a definição de paridade (com calma, tipo papo de amigo):
- Dizemos que um inteiro
é par se existe tal que . - Dizemos que um inteiro
é ímpar se existe tal que .
Duas propriedades úteis e simples que usaremos sem medo:
- A soma e produto de inteiros é inteiro. Ou seja, se
então . - Se um número pode ser escrito na forma
com , então esse número é ímpar; se pode ser escrito na forma , é par.
Passo 3
Resolvendo (a). Partimos de
ímpar, com
para algum
. Calculamos
passo a passo:
Expandindo o quadrado:
Agora fatoramos um
dos dois primeiros termos:
Como
, a expressão
também é um inteiro (produto e soma de inteiros). Definimos
. Assim
o que mostra exatamente que
é ímpar (pois está na forma
). Portanto a conclusão de (a) está provada.
Passo 4
Pequena verificação numérica para ficar mais tranquilo: se
(ímpar), então
e
, ímpar — bate com a demonstração algébrica.
Passo 5
Resolvendo (b). A afirmação a provar é: se
é ímpar então
é ímpar. Uma forma elegante e comum de provar esse tipo de afirmação é usar a contrapositiva. Lembra: uma implicação “se P então Q” é logicamente equivalente à contrapositiva “se não Q então não P”. Aqui:
- P é: "
é ímpar". - Q é: "
é ímpar".
A contrapositiva é: “se
não é ímpar (ou seja, se
é par) então
não é ímpar (ou seja,
é par)”. Mostrar essa contrapositiva é normalmente mais direto.
Passo 6
Prova da contrapositiva (isso resolve (b)).
Assuma que
é par. Então existe
tal que
Calcule
:
Como
, temos que
tem a forma
, ou seja,
é par. Portanto mostramos: se
é par então
é par. Isso é exatamente a contrapositiva da afirmação original. Logo a afirmação original é verdadeira: se
é ímpar então
é ímpar.
Passo 7
Comentário didático final (para fixar a ideia): a essência é que paridade sobrevive ao quadrado da seguinte maneira: quadrado de par é par; quadrado de ímpar é ímpar. A prova direta de cada caso é puramente algébrica e usa apenas expansão e fatoração por
. Na prova do item (b) usamos o raciocínio por contraposição porque é mais simples do que tentar construir diretamente um
tal que
a partir da hipótese sobre
.
Resposta
(a)
, logo
é ímpar.
(b) Se fosse par,
e
seria par; portanto, se
é ímpar,
não pode ser par, isto é,
é ímpar.
(b) Se