[1] Considere \mathbb{Z} o conjunto dos números inteiros.
(a) Considere a \in \mathbb{Z} ímpar, então
\exists k \in \mathbb{Z} \text { tal que } a=2 k+1 .
Calcule a^{2} e verifique que a^{2} é ímpar;
(b) Considere a \in \mathbb{Z}, tal que a^{2} seja ímpar. Verifique que a é ímpar.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas separadas:
(a) Começando com um inteiro \,a ímpar, ou seja, sabendo que existe \,k\in\mathbb{Z} tal que \,a=2k+1, calcular \,a^{2} e verificar que esse quadrado é ímpar.
(b) Começando com um inteiro \,a tal que \,a^{2} é ímpar, verificar que \,a é ímpar.
Informações dadas e relevantes:
  • Para (a) sabemos explicitamente que \,a=2k+1 para algum \,k\in\mathbb{Z}.
  • Para (b) sabemos apenas que \,a\in\mathbb{Z} e que \,a^{2} é ímpar.
Nada mais será assumido; vamos desenvolver passo a passo as demonstrações pedidas.

Passo 2

Antes de começar a manipular fórmulas, vamos lembrar a definição de paridade (com calma, tipo papo de amigo):
  • Dizemos que um inteiro \,n é par se existe \,t\in\mathbb{Z} tal que \,n=2t.
  • Dizemos que um inteiro \,n é ímpar se existe \,t\in\mathbb{Z} tal que \,n=2t+1.
Duas propriedades úteis e simples que usaremos sem medo:
  1. A soma e produto de inteiros é inteiro. Ou seja, se \,k\in\mathbb{Z} então \,2k^2+2k\in\mathbb{Z}.
  2. Se um número pode ser escrito na forma \,2m+1 com \,m\in\mathbb{Z}, então esse número é ímpar; se pode ser escrito na forma \,2m, é par.

Passo 3

Resolvendo (a). Partimos de \,a ímpar, com \,a=2k+1 para algum \,k\in\mathbb{Z}. Calculamos \,a^{2} passo a passo:
a^{2} = (2k+1)^{2}.
Expandindo o quadrado:
(2k+1)^{2} = (2k)^{2} + 2\cdot(2k)\cdot 1 + 1^{2} = 4k^{2} + 4k + 1.
Agora fatoramos um 2 dos dois primeiros termos:
4k^{2} + 4k + 1 = 2\bigl(2k^{2} + 2k\bigr) + 1.
Como \,k\in\mathbb{Z}, a expressão \,2k^{2}+2k também é um inteiro (produto e soma de inteiros). Definimos \,m = 2k^{2}+2k\in\mathbb{Z}. Assim
a^{2} = 2m + 1,
o que mostra exatamente que \,a^{2} é ímpar (pois está na forma \,2\cdot(\text{inteiro}) + 1). Portanto a conclusão de (a) está provada.

Passo 4

Pequena verificação numérica para ficar mais tranquilo: se \,a=3 (ímpar), então \,a^{2}=9 e \,9=2\cdot4+1, ímpar — bate com a demonstração algébrica.

Passo 5

Resolvendo (b). A afirmação a provar é: se \,a^{2} é ímpar então \,a é ímpar. Uma forma elegante e comum de provar esse tipo de afirmação é usar a contrapositiva. Lembra: uma implicação “se P então Q” é logicamente equivalente à contrapositiva “se não Q então não P”. Aqui:
  • P é: " \,a^{2} é ímpar".
  • Q é: " \,a é ímpar".
A contrapositiva é: “se \,a não é ímpar (ou seja, se \,a é par) então \,a^{2} não é ímpar (ou seja, \,a^{2} é par)”. Mostrar essa contrapositiva é normalmente mais direto.

Passo 6

Prova da contrapositiva (isso resolve (b)).
Assuma que \,a é par. Então existe \,k\in\mathbb{Z} tal que
a = 2k.
Calcule \,a^{2}:
a^{2} = (2k)^{2} = 4k^{2} = 2\bigl(2k^{2}\bigr).
Como \,2k^{2}\in\mathbb{Z}, temos que \,a^{2} tem a forma \,2\cdot(\text{inteiro}), ou seja, \,a^{2} é par. Portanto mostramos: se \,a é par então \,a^{2} é par. Isso é exatamente a contrapositiva da afirmação original. Logo a afirmação original é verdadeira: se \,a^{2} é ímpar então \,a é ímpar.

Passo 7

Comentário didático final (para fixar a ideia): a essência é que paridade sobrevive ao quadrado da seguinte maneira: quadrado de par é par; quadrado de ímpar é ímpar. A prova direta de cada caso é puramente algébrica e usa apenas expansão e fatoração por 2. Na prova do item (b) usamos o raciocínio por contraposição porque é mais simples do que tentar construir diretamente um k tal que a=2k+1 a partir da hipótese sobre a^{2}.

Resposta

(a) \;a^{2}=4k^{2}+4k+1=2(2k^{2}+2k)+1, logo \,a^{2} é ímpar.
(b) Se \,a fosse par, \,a=2k e \,a^{2}=4k^{2}=2(2k^{2}) seria par; portanto, se \,a^{2} é ímpar, \,a não pode ser par, isto é, \,a é ímpar.

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