Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por:
\frac{\sin (n)}{n^{3}+1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado o termo genérico a_{n}=\dfrac{\sin(n)}{n^{3}+1} para n\ge 1.
  • O enunciado pede: determinar se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=\sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(n)}{n^{3}+1} converge absolutamente, condicionalmente ou diverge.

Passo 2

Definições importantes (vou explicar com calma para você lembrar na prova).
  • Série converge absolutamente se a série dos módulos converge, isto é, se \sum_{n=1}^{\infty} |a_{n}| converge.
  • Série converge condicionalmente se a série \sum a_{n} converge mas \sum |a_{n}| diverge.
  • Uma ferramenta útil: o teste da comparação direta. Se 0\le b_{n}\le c_{n} para todo n suficientemente grande e \sum c_{n} converge, então \sum b_{n} converge também.

Passo 3

Estudo da série dos módulos. Considero
|a_{n}|=\left|\dfrac{\sin(n)}{n^{3}+1}\right|=\dfrac{|\sin(n)|}{n^{3}+1}.
Note que |\sin(n)|\ge 0 para todo n, então |a_{n}| é não-negativo e podemos aplicar comparação direta.

Passo 4

Comparação com uma p-série convergente.
  • Para todo n\ge 1 vale 0\le |\sin(n)|\le 1. Então
|a_{n}|=\dfrac{|\sin(n)|}{n^{3}+1}\le \dfrac{1}{n^{3}+1}.
  • Além disso, para n\ge 1 temos n^{3}+1\ge n^{3}, portanto
\dfrac{1}{n^{3}+1}\le \dfrac{1}{n^{3}}.
Combinando as desigualdades,
0\le |a_{n}|\le \dfrac{1}{n^{3}} \quad\text{para todo } n\ge 1.

Passo 5

Uso do fato sobre p-séries e conclusão da comparação.
  • Lembrando: a p-série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=3>1, logo \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} converge.
  • Como 0\le |a_{n}|\le \dfrac{1}{n^{3}} e a série de cima converge, pelo teste da comparação direta segue que a série \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| também converge.

Passo 6

Interpretação final e incentivo.
  • Como a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty}|a_{n}| converge, a série original \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} converge absolutamente.
  • Convergência absoluta implica convergência (portanto não há apenas convergência condicional).
  • Bom trabalho chegando até aqui — a ideia prática para a prova: sempre verifique se dá para comparar com uma p-série ou com 1/n^{p}; muitas séries com senos ou cossenos no numerador ficam fáceis assim porque |\sin n| é bounded.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{\sin(n)}{n^{3}+1} converge absolutamente.

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