Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries justificando sua resposta.
\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{1}{\ln (n)}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A série dada é \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n)}.
  • A pergunta: verificar se essa série converge ou diverge. Se converge, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os termos têm sinal alternado por causa do fator (-1)^{n+1}.
  • O termo de módulo é a_n=\dfrac{1}{\ln(n)}, definido para n\ge2.

Passo 2

Entender o critério adequado. Para séries alternadas (com sinais \pm) usamos o Teste de Leibniz (ou critério da série alternada):
  • Enunciado do critério (em linguagem simples): Se (a_n) é uma sequência de termos positivos tal que
    1. a_{n+1}\le a_n para todo n grande o suficiente (ou seja, a_n é monotona não crescente a partir de algum índice),
    2. \displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = 0,
      então a série alternada \displaystyle \sum (-1)^{n} a_n converge.
Vou aplicar esse critério a a_n=\dfrac{1}{\ln(n)}.

Passo 3

Verificar que a_n\to 0.
  • Sabemos que \ln(n)\to\infty quando n\to\infty.
  • Portanto \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\ln(n)}=0.
Isto confirma a segunda condição do Teste de Leibniz.

Passo 4

Verificar que a_n=\dfrac{1}{\ln(n)} é (eventualmente) monotona decrescente.
  • Considere a função f(x)=\dfrac{1}{\ln x} para x>1.
  • Derivando: \displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x(\ln x)^2}.
  • Como para x>1 temos x>0 e (\ln x)^2>0, segue que f'(x)<0 para todo x>1. Logo f é estritamente decrescente em (1,\infty).
  • Assim a sequência a_n=f(n)=\dfrac{1}{\ln n} é decrescente para todo n\ge2.
Isto confirma a primeira condição do Teste de Leibniz.

Passo 5

Concluir a convergência pela série alternada.
  • Como a_n é positiva, decrescente (a partir de n=2) e \lim_{n\to\infty} a_n=0, pelo Teste de Leibniz a série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{1}{\ln(n)}converge.

Passo 6

Verificar se a convergência é absoluta ou condicional — analisar a série dos módulos \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(n)}.
  • Compare os termos com \dfrac{1}{n}. Para todo n\ge2 vale \ln(n)\le n (pois \ln n cresce mais devagar que n), então \frac{1}{\ln(n)} \ge \frac{1}{n}.
  • A série harmônica \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n} diverge.
  • Pelo teste de comparação (se b_n\ge c_n\ge0 e \sum c_n diverge, então \sum b_n diverge), segue que \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln(n)}também diverge.
Portanto a série dos módulos diverge, isto é, a série original não converge absolutamente.

Passo 7

Conclusão final e comentário didático.
  • A série é alternada e satisfaz as hipóteses do Teste de Leibniz, então ela converge.
  • Contudo a série dos valores absolutos diverge (comparação com a harmônica), logo a convergência não é absoluta.
  • Termo técnico: a série converge condicionalmente.
Dica rápida para prova: ao ver uma série alternada, verifique (1) se os módulos tendem a zero e (2) se são monotonicamente decrescentes — se sim, aplique Leibniz. Depois cheque absoluta usando comparação simples (aqui \ln n\le n foi suficiente).

Resposta

A série converge condicionalmente.

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