Verifique a convergência ou divergência das seguintes séries justificando sua resposta.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- A série dada é
. - A pergunta: verificar se essa série converge ou diverge. Se converge, dizer se é convergência absoluta ou condicional.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os termos têm sinal alternado por causa do fator
. - O termo de módulo é
, definido para .
Passo 2
Entender o critério adequado. Para séries alternadas (com sinais
) usamos o Teste de Leibniz (ou critério da série alternada):
- Enunciado do critério (em linguagem simples): Se
é uma sequência de termos positivos tal que -
para todo grande o suficiente (ou seja, é monotona não crescente a partir de algum índice), -
,
então a série alternadaconverge.
-
Vou aplicar esse critério a
.
Passo 3
Verificar que
.
- Sabemos que
quando . - Portanto
.
Isto confirma a segunda condição do Teste de Leibniz.
Passo 4
Verificar que
é (eventualmente) monotona decrescente.
- Considere a função
para . - Derivando:
. - Como para
temos e , segue que para todo . Logo é estritamente decrescente em . - Assim a sequência
é decrescente para todo .
Isto confirma a primeira condição do Teste de Leibniz.
Passo 5
Concluir a convergência pela série alternada.
- Como
é positiva, decrescente (a partir de ) e , pelo Teste de Leibniz a série converge.
Passo 6
Verificar se a convergência é absoluta ou condicional — analisar a série dos módulos
.
- Compare os termos com
. Para todo vale (pois cresce mais devagar que ), então - A série harmônica
diverge. - Pelo teste de comparação (se
e diverge, então diverge), segue que também diverge.
Portanto a série dos módulos diverge, isto é, a série original não converge absolutamente.
Passo 7
Conclusão final e comentário didático.
- A série é alternada e satisfaz as hipóteses do Teste de Leibniz, então ela converge.
- Contudo a série dos valores absolutos diverge (comparação com a harmônica), logo a convergência não é absoluta.
- Termo técnico: a série converge condicionalmente.
Dica rápida para prova: ao ver uma série alternada, verifique (1) se os módulos tendem a zero e (2) se são monotonicamente decrescentes — se sim, aplique Leibniz. Depois cheque absoluta usando comparação simples (aqui
foi suficiente).
Resposta
A série converge condicionalmente.