Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n}
e pede que eu estude sua convergência ou divergência e, quando possível, calcule a soma. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\left(\dfrac{e}{\pi}\right)^{n}.
  • A razão constante (fator que se repete de um termo para o próximo) é r=\dfrac{e}{\pi}.
  • Valores conhecidos: e\approx2,71828 e \pi\approx3,14159, portanto
\frac{e}{\pi}\approx0,8653.

Passo 2

Identificar o tipo de série e escrever a soma parcial. A série tem a forma de uma série geométrica com razão r=\dfrac{e}{\pi}. Para uma série geométrica do tipo \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} define-se a soma parcial
S_{N}=\sum_{n=1}^{N} r^{n}.
Vou derivar uma fórmula prática para S_{N}. Multiplicando por (1-r) obtém-se uma telescopagem:
(1-r)S_{N} = (1-r)\sum_{n=1}^{N} r^{n} = \sum_{n=1}^{N} r^{n} - \sum_{n=1}^{N} r^{n+1}.
Escrevendo explicitamente os termos, a maioria cancela e sobra
(1-r)S_{N} = r - r^{N+1}.
Isolando S_{N} chega-se à fórmula da soma parcial:
S_{N}=\frac{r(1 - r^{N})}{1-r}.

Passo 3

Condição de convergência para a soma infinita. Para passar de S_{N} à soma da série precisamos analisar o limite quando N\to\infty:
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n} = \lim_{N\to\infty} S_{N} = \lim_{N\to\infty}\frac{r(1 - r^{N})}{1-r}.
Se |r|<1, então \lim_{N\to\infty} r^{N}=0, portanto
\lim_{N\to\infty} S_{N} = \frac{r}{1-r},
ou seja, a série converge e sua soma é \dfrac{r}{1-r}. Se |r|\ge 1, então r^{N} não tende a zero e a série diverge. (Breve justificativa: para que uma série infinita de termos a_n possa convergir é necessário que a_n\to0; se |r|\ge1 isso não acontece no caso geométrico.)

Passo 4

Aplicar ao caso concreto r=\dfrac{e}{\pi}. Já calculei que \dfrac{e}{\pi}\approx0,8653, logo |r|<1. Portanto a série converge. Usando a fórmula da soma para |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e}{\pi}\right)^{n}=\frac{\dfrac{e}{\pi}}{1-\dfrac{e}{\pi}}.
Simplificando a expressão:
\frac{\dfrac{e}{\pi}}{1-\dfrac{e}{\pi}}=\frac{\dfrac{e}{\pi}}{\dfrac{\pi-e}{\pi}}=\frac{e}{\pi-e}.
Posso também dar uma aproximação numérica usando e e \pi conhecidos:
\frac{e}{\pi-e}\approx\frac{2,71828}{3,14159-2,71828}=\frac{2,71828}{0,42331}\approx6,42.

Resposta

Converge (convergência absoluta). Soma =\dfrac{e}{\pi-e}\approx6,42

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