Considerando as séries dadas, estude a sua convergência ou divergência. Quando possível calcule sua soma.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede que eu estude sua convergência ou divergência e, quando possível, calcule a soma. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- O termo geral é
. - A razão constante (fator que se repete de um termo para o próximo) é
. - Valores conhecidos:
e , portanto
Passo 2
Identificar o tipo de série e escrever a soma parcial. A série tem a forma de uma série geométrica com razão
. Para uma série geométrica do tipo
define-se a soma parcial
Vou derivar uma fórmula prática para
. Multiplicando por
obtém-se uma telescopagem:
Escrevendo explicitamente os termos, a maioria cancela e sobra
Isolando
chega-se à fórmula da soma parcial:
Passo 3
Condição de convergência para a soma infinita. Para passar de
à soma da série precisamos analisar o limite quando
:
Se
, então
, portanto
ou seja, a série converge e sua soma é
. Se
, então
não tende a zero e a série diverge. (Breve justificativa: para que uma série infinita de termos
possa convergir é necessário que
; se
isso não acontece no caso geométrico.)
Passo 4
Aplicar ao caso concreto
. Já calculei que
, logo
. Portanto a série converge. Usando a fórmula da soma para
,
Simplificando a expressão:
Posso também dar uma aproximação numérica usando
e
conhecidos:
Resposta
Converge (convergência absoluta). Soma