Determine a convergência absoluta ou condicional das séries \sum a_{n} cujos termos genéricos a_{n} são dados por:
\frac{n}{\sqrt{n^{4}+n^{2}}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série \sum a_{n} com termo geral
a_{n}=\frac{n}{\sqrt{n^{4}+n^{2}}}.
O que é pedido: determinar se a série converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de a_{n} está dada.
  • Para todo n\ge 1, a_{n}>0 (pois é razão de quantidades positivas).

Passo 2

Primeiro simplifico o termo a_{n} para ver seu comportamento quando n cresce. Faturo n^{4} dentro da raiz:
\sqrt{n^{4}+n^{2}}=\sqrt{n^{4}\Bigl(1+\frac{1}{n^{2}}\Bigr)}=n^{2}\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}.
Substituindo na expressão de a_{n} obtenho
a_{n}=\frac{n}{n^{2}\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{1}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}.

Passo 3

Agora vou comparar \,a_{n}\, com a sequência simples \dfrac{1}{n} (porque a forma acima já sugere comportamento do tipo 1/n). Calculo o limite do quociente:
\frac{a_{n}}{1/n}=n\,a_{n}=n\cdot\frac{1}{n\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n^{2}}}}.
Como n\to\infty temos \dfrac{1}{n^{2}}\to 0, então
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{1/n}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1.

Passo 4

Explico a ferramenta que usei: o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Ele diz: se b_{n}>0 e \lim_{n\to\infty}\dfrac{a_{n}}{b_{n}}=L com 0<L<\infty, então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Aqui escolhi b_{n}=1/n e encontrei L=1\in(0,\infty), logo \sum a_{n} e \sum \dfrac{1}{n} convergem ou divergem juntas.

Passo 5

Lembrando do comportamento da série harmônica: a série \sum \dfrac{1}{n} (p‑série com p=1) diverge. Portanto, pela comparação por limite, a série \sum a_{n} também diverge.

Passo 6

Como todos os a_{n} são positivos, |a_{n}|=a_{n}. Assim a série dos módulos \sum |a_{n}| é exatamente a mesma série \sum a_{n}. Logo não há convergência absoluta (pois a série original já diverge). E também não há convergência condicional, porque condicional significa: converge, mas não converge absolutamente — aqui nem converge.

Resposta

A série diverge; portanto não converge nem absolutamente nem condicionalmente.

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