Determine a convergência absoluta ou condicional das séries
cujos termos genéricos
são dados por:
Passo 1
O enunciado nos dá a série
com termo geral
O que é pedido: determinar se a série converge absolutamente, converge condicionalmente, ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
está dada. - Para todo
, (pois é razão de quantidades positivas).
Passo 2
Primeiro simplifico o termo
para ver seu comportamento quando
cresce. Faturo
dentro da raiz:
Substituindo na expressão de
obtenho
Passo 3
Agora vou comparar
com a sequência simples
(porque a forma acima já sugere comportamento do tipo
). Calculo o limite do quociente:
Como
temos
, então
Passo 4
Explico a ferramenta que usei: o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test). Ele diz: se
e
com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Aqui escolhi
e encontrei
, logo
e
convergem ou divergem juntas.
Passo 5
Lembrando do comportamento da série harmônica: a série
(p‑série com
) diverge. Portanto, pela comparação por limite, a série
também diverge.
Passo 6
Como todos os
são positivos,
. Assim a série dos módulos
é exatamente a mesma série
. Logo não há convergência absoluta (pois a série original já diverge). E também não há convergência condicional, porque condicional significa: converge, mas não converge absolutamente — aqui nem converge.
Resposta
A série diverge; portanto não converge nem absolutamente nem condicionalmente.