Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência real cujo termo geral é
a_{n} = \frac{1 + (-1)^{n}}{n^{2}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é análise de convergência de sequências reais e, em particular, o uso do Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”).

Passo 2

Observe que o numerador 1 + (-1)^{n} só pode assumir dois valores:
  • se n é par, então (-1)^{n}=1 e 1+(-1)^{n}=2;
  • se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1 e 1+(-1)^{n}=0.
    Logo, \bigl|1+(-1)^{n}\bigr| está sempre limitado por 2.

Passo 3

Daí segue que
\bigl|a_{n}\bigr| = \left|\frac{1 + (-1)^{n}}{n^{2}}\right| \le \frac{2}{n^{2}}.
Mas sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n^{2}} = 0.
Pelo Teorema do Confronto, como \lvert a_{n}\rvert fica “espremido” entre 0 e 2/n^{2}, concluímos que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

Passo 4

Concluímos, portanto, que a sequência \bigl(a_{n}\bigr) é convergente e tem limite igual a 0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 0.

Exercícios relacionados