Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{n^{2}}
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência real cujo termo geral é
a_{n} = \frac{1 + (-1)^{n}}{n^{2}}
e pede para verificar se ela converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é análise de convergência de sequências reais e, em particular, o uso do Teorema do Confronto (ou “Squeeze Theorem”).
Passo 2
Observe que o numerador 1 + (-1)^{n} só pode assumir dois valores:
se n é par, então (-1)^{n}=1 e 1+(-1)^{n}=2;
se n é ímpar, então (-1)^{n}=-1 e 1+(-1)^{n}=0.
Logo, \bigl|1+(-1)^{n}\bigr| está sempre limitado por 2.