Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o
-ésimo termo dados por
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da sequência cujo termo geral é
O conteúdo principal aqui envolve propriedades de logaritmo (para simplificar a expressão) e o cálculo de limite de sequência usando o fato de que funções de crescimento polinomial dominam logaritmos.
Passo 2
Usamos a propriedade de logaritmos que diz
. Assim,
Passo 3
Para determinar
, aplicamos a regra de L’Hôpital ao equivalente contínuo
Derivando numerador e denominador obtemos
Logo
.
Passo 4
Como
e sabemos que
, pelo teorema do produto com constante obtemos
Portanto a sequência converge e seu limite é
.
Resposta
A sequência
converge e
.