Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=\frac{\ln n^{3}}{2 n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da sequência cujo termo geral é
a_{n} = \frac{\ln n^{3}}{2\,n}.
O conteúdo principal aqui envolve propriedades de logaritmo (para simplificar a expressão) e o cálculo de limite de sequência usando o fato de que funções de crescimento polinomial dominam logaritmos.

Passo 2

Usamos a propriedade de logaritmos que diz \ln n^{3} = 3\,\ln n. Assim,
a_{n} = \frac{3\,\ln n}{2\,n} = \frac{3}{2}\,\frac{\ln n}{n}.

Passo 3

Para determinar \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}, aplicamos a regra de L’Hôpital ao equivalente contínuo
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}.
Derivando numerador e denominador obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{d}{dx}(\ln x)}{\frac{d}{dx}(x)} =\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1} =\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x} =0.
Logo \lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n}=0.

Passo 4

Como \displaystyle a_{n} = \frac{3}{2}\,\frac{\ln n}{n} e sabemos que \frac{\ln n}{n}\to0, pelo teorema do produto com constante obtemos
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{3}{2}\,\lim_{n\to\infty}\frac{\ln n}{n} =\frac{3}{2}\cdot0 =0.
Portanto a sequência converge e seu limite é 0.

Resposta

A sequência \bigl(a_{n}\bigr) converge e \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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