Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=\frac{5^{n}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \bigl(a_n\bigr) definida por
a_n = \frac{5^n}{3^n}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é o estudo de sequências geométricas e usaremos o critério de convergência para esse tipo de sequência.

Passo 2

Uma sequência geométrica geral é da forma \bigl(q^n\bigr) e converge se, e somente se, \lvert q\rvert < 1. Caso \lvert q\rvert > 1, a sequência diverge, pois seus termos crescem em módulo sem limite.

Passo 3

Reescrevemos
a_n = \frac{5^n}{3^n} = \Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^n.
Aqui o termo geral é \bigl(q^n\bigr) com q = \tfrac{5}{3}. Como
\bigl\lvert q\bigr\rvert = \frac{5}{3} > 1,
os termos de \bigl(\tfrac{5}{3}\bigr)^n crescem sem limite, tendendo a +\infty.

Resposta

A sequência diverge (seus termos crescem para +\infty).

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