Determine a convergência ou divergência das seguintes sequências com o n-ésimo termo dados por
a_{n}=\frac{(n-2)!}{n!}

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência cujo termo geral é
a_{n}=\frac{(n-2)!}{n!}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é limite de sequência e usaremos a propriedade de fatorial para simplificar o termo.

Passo 2

Usamos a relação
n! = n\,(n-1)\,(n-2)!,
então
a_{n} = \frac{(n-2)!}{n!} = \frac{(n-2)!}{n\,(n-1)\,(n-2)!} = \frac{1}{n\,(n-1)}.

Passo 3

Analisamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n\,(n-1)}.
Como n(n-1)\to\infty, segue que
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n}=0.

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