Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}-1}
converge ou diverge, e calcular a soma se for convergente. Informações dadas:
  • A fórmula do termo geral é \dfrac{n^{2}}{n^{2}-1}.
  • O somatório está indicado de n=1 até infinito.
Observação importante (extraída do próprio enunciado): para n=1 o denominador fica 1^{2}-1=0, então o termo para n=1 é \dfrac{1}{0}, isto é, não está definido. Por isso a série tal como escrita não é bem-definida em n=1. Provavelmente o enunciado pretende a soma a partir de n=2. Vou, portanto, analisar a série assumindo a interpretação natural e habitual nestes exercícios:
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{n^{2}}{n^{2}-1}.

Passo 2

Uma técnica simples é estudar o comportamento do termo geral quando n\to\infty. Primeiro, faça uma manipulação algébrica do termo para ver sua forma assintótica:
\frac{n^{2}}{n^{2}-1}=\frac{n^{2}-1+1}{n^{2}-1}=1+\frac{1}{n^{2}-1}.
Expliquei passo a passo:
  • Escrevi n^{2} como (n^{2}-1)+1.
  • Dividi cada parcela por n^{2}-1 para obter a soma de duas frações.
    Isso é útil porque torna explícita a parte que tende a 1 e a parte que tende a 0.

Passo 3

Agora calcule o limite do termo geral:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^{2}}{n^{2}-1}=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n^{2}-1}\right)=1+0=1.
Aqui usei que \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n^{2}-1}=0 porque o denominador cresce sem limite.

Passo 4

Use o teste do termo geral (condição necessária de convergência): se \sum a_n converge então \lim_{n\to\infty} a_n=0. Aqui encontramos \lim_{n\to\infty} a_n=1\neq0. Portanto a série não pode convergir. Em palavras mais amigáveis: os termos da série não vão para zero (eles tendem a 1), então mesmo somando infinitos termos, os parciais crescem sem parar — a série diverge.
Alternativa rápida que confirma a mesma conclusão: escrevendo
\sum_{n=2}^{N}\frac{n^{2}}{n^{2}-1}=\sum_{n=2}^{N}\left(1+\frac{1}{n^{2}-1}\right)=(N-1)+\sum_{n=2}^{N}\frac{1}{n^{2}-1}.
O primeiro termo (N-1) tende a +\infty quando N\to\infty, logo a soma parcial diverge para +\infty.

Passo 5

Conclusão com incentivo: eu sei que é chato ver uma série que parece complicada, mas aqui a arma principal é sempre olhar o termo geral. Se ele não vai a zero, acabou — diverge. Então não precisamos fazer telescopagem nem somar nada complicado.

Resposta

A série diverge (não converge).

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