Determine a convergência ou divergência das séries a seguir. Se for convergente, calcule a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou diverge, e calcular a soma se for convergente. Informações dadas:
- A fórmula do termo geral é
. - O somatório está indicado de
até infinito.
Observação importante (extraída do próprio enunciado): para
o denominador fica
, então o termo para
é
, isto é, não está definido. Por isso a série tal como escrita não é bem-definida em
. Provavelmente o enunciado pretende a soma a partir de
. Vou, portanto, analisar a série assumindo a interpretação natural e habitual nestes exercícios:
Passo 2
Uma técnica simples é estudar o comportamento do termo geral quando
. Primeiro, faça uma manipulação algébrica do termo para ver sua forma assintótica:
Expliquei passo a passo:
- Escrevi
como . - Dividi cada parcela por
para obter a soma de duas frações.
Isso é útil porque torna explícita a parte que tende ae a parte que tende a .
Passo 3
Agora calcule o limite do termo geral:
Aqui usei que
porque o denominador cresce sem limite.
Passo 4
Use o teste do termo geral (condição necessária de convergência): se
converge então
. Aqui encontramos
. Portanto a série não pode convergir. Em palavras mais amigáveis: os termos da série não vão para zero (eles tendem a
), então mesmo somando infinitos termos, os parciais crescem sem parar — a série diverge.
Alternativa rápida que confirma a mesma conclusão: escrevendo
O primeiro termo
tende a
quando
, logo a soma parcial diverge para
.
Passo 5
Conclusão com incentivo: eu sei que é chato ver uma série que parece complicada, mas aqui a arma principal é sempre olhar o termo geral. Se ele não vai a zero, acabou — diverge. Então não precisamos fazer telescopagem nem somar nada complicado.
Resposta
A série diverge (não converge).