determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 5}{n} $
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 5}{n} $
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar se a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 5}{n} $ converge ou diverge usando um teste apropriado. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada, que é ideal para séries onde os termos mudam de sinal alternadamente, como essa aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da série que não inclui o termo alternado $ (-1)^{n+1} $. No caso, temos:
Passo 3
O próximo passo é verificar se $ a_n $ está diminuindo conforme $ n $ aumenta. Observando $ a_n = \frac{5}{n} $, percebemos que, conforme $ n $ cresce, o valor de $ \frac{5}{n} $ diminui. Por exemplo:
- Para $ n = 1 $, $ a_1 = 5 $
- Para $ n = 2 $, $ a_2 = 2,5 $
- Para $ n = 3 $, $ a_3 \approx 1,67 $
E assim por diante. Portanto, $ a_n $ está de fato diminuindo.
Passo 4
Agora, precisamos verificar se o limite de $ a_n $ quando $ n $ tende ao infinito é igual a zero:
Isso significa que conforme $ n $ fica muito grande, $ a_n $ se aproxima de zero.
Passo 5
Como os dois critérios do Teste da Série Alternada estão satisfeitos—$ a_n $ é positivo, decrescente e seu limite é zero—podemos concluir que a série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 5}{n} $ converge.
Resposta
A série $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 5}{n} $ converge pelo Teste da Série Alternada.