Nos Problemas 21.27 a 21.42 , determine as Transformadas de Laplace das funções dadas utilizando a Eq. (21.1).
f(x)=x e^-8 x

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função f(x)=x e^-8x, usando a definição integral da transformada. Vamos usar este conteúdo de Transformadas de Laplace e a propriedade básica de integrais impróprias.

Passo 2

Pela definição de Laplace temos:
Lf(x)(s)=integral0^inftyf(x)e^-sx ,dx
Substituindo f(x)=x e^-8x obtemos
Lx e^-8x(s)=integral0^infty x e^-8xe^-sx ,dx=integral0^infty x e^-(s+8)x ,dx

Passo 3

Para resolver a integral usamos a fórmula padrão
integral0^infty x e^-ax ,dx=1a^2, para Re(a)>0
Aqui a=s+8, logo a integral vale 1/(s+8)^2, desde que Re(s+8)>0, ou seja Re(s)>-8.

Resposta

Lx e^-8x(s)=1(s+8)^2, para Re(s)>-8

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