Nos Problemas 21.27 a 21.42 , determine as Transformadas de Laplace das funções dadas utilizando a Eq. (21.1).
f(x)=rrx & 0 <= x <= 2 2 & x>2

Passo 1

Nessa questão a gente precisa encontrar a transformada de Laplace da função f(x) definida por f(x)=x para 0 <= x <= 2 e f(x)=2 para x>2. O conteúdo aqui é a definição da transformada de Laplace, que é Lf(x)=integral0^infty f(x)e^-sx,dx.

Passo 2

Para usar essa definição, a gente divide a integral em duas partes conforme o intervalo da função:
Lf(x)=integral0^infty f(x)e^-sx,dx=integral0^2 x,e^-sx,dx+integral2^infty 2,e^-sx,dx

Passo 3

Agora calculamos integral0^2 x,e^-sx,dx por partes. Escolhemos u=x e dv=e^-sxdx, logo du=dx e v=-1se^-sx. Aplicando:
integral0^2 x,e^-sx,dx=l[-xse^-sxr]0^2+integral0^2 1se^-sx,dx=-2se^-2s+1sl[-1se^-sxr]0^2
Depois,
integral0^2 x,e^-sx,dx=-2e^-2ss-1s^2(e^-2s-1)=1s^2-2e^-2ss-e^-2ss^2

Passo 4

Em seguida, calculamos integral2^infty 2,e^-sx,dx. Como integral e^-sxdx=-tfrac1se^-sx, temos:
integral2^infty 2,e^-sx,dx=2l[-1se^-sxr]2^infty=2l(0+1se^-2sr)=2e^-2ss

Passo 5

Por fim, somamos as duas partes e simplificamos:
Lf(x)=l(1s^2-2e^-2ss-e^-2ss^2r)+2e^-2ss=1s^2-e^-2ss^2=1-e^-2ss^2

Resposta

1-e^-2ss^2

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