determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n 7^{n}}{n!} $

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty n,7^nn! converge ou diverge usando um teste apropriado de séries numéricas. O conteúdo principal aqui é séries de termos positivos e o teste da razão.

Passo 2

O teste da razão diz que, para uma série de termos positivos an, se existir L=limntoinftyan+1an e L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Vamos calcular a razão entre termos consecutivos. Definindo an=n,7^nn!, temos:
an+1an=(n+1)7^n+1/(n+1)!n7^n/n! Simplificando,
an+1an=(n+1)7^n+1(n+1)!cdotn!n7^n=7n

Passo 4

Como limntoinfty7n=0<1, a condição do teste da razão é satisfeita. Portanto a série converge absolutamente pelo teste da razão.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão.

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