determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capitulo. Diga qual o teste usado.
$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n 3^{n-1}}}{n!} $

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série sumn=1^infty (-1)^n3^n-1n!, usando um teste de convergência apropriado deste capítulo.

Passo 2

Note que 3^n-1 é sempre ímpar, então o expoente n3^n-1 tem a mesma paridade de n. Logo,
(-1)^n3^n-1 = (-1)^n
Assim a série vira
sumn=1^infty (-1)^nn!

Passo 3

Para verificar convergência, vamos usar o teste da razão na série de termos absolutos, isto é sum l|anr| = sum 1n!.
Calculemos
L = limntoinfty 1/(n+1)!1/n! = limntoinfty 1n+1 = 0

Passo 4

Como L < 1, a série de termos absolutos converge pelo teste da razão. Portanto a série original converge absolutamente e, em consequência, converge.
O teste usado foi o teste da razão, mostrando convergência absoluta.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge), pelo teste da razão.

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