Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
(40) sum k!k^k

Passo 1

A série considerada é sumk=1^infty k!k^k. O conteúdo envolvido é teste de convergência de séries numéricas e vamos precisar usar o teste da razão para decidir se ela converge.

Passo 2

O teste da razão diz que, dado ak, calculamos o limite L=limktoinftyl|ak+1/akr|. Se L<1, a série converge absolutamente; se L>1, diverge; se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar o teste da razão à nossa série. Definindo ak=k!k^k, temos:
ak+1ak=(k+1)!/(k+1)^k+1k!/k^k

Passo 4

Agora simplificamos essa expressão:
ak+1ak=(k+1)cdotk^k(k+1)^k+1 =(k+1)cdotk^k(k+1)^k,(k+1) =l(kk+1r)^k

Passo 5

Vamos calcular o limite desse quociente:
L=limktoinftyl(kk+1r)^k =limktoinftyl(1-1k+1r)^k =e^-1

Passo 6

O valor e^-1 é menor que 1. Pelo teste da razão, a série sumk=1^infty k!k^k converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo teste da razão, pois o quociente ak+1/ak tende a e^-1<1.

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