Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
, sabendo que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ g(x, y) = \cos(x^{2} - y^{2}) $ em relação a $ u $ e $ v $, usando a regra da cadeia. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar como $ x $ e $ y $ dependem de $ u $ e $ v $. Temos:
Isso significa que $ g $ é uma função composta: $ g(u, v) = \cos\left( (2u - 3v)^2 - (-5u + 8v)^2 \right) $.
Passo 3
Para encontrar as derivadas parciais $ \frac{\partial g}{\partial u} $ e $ \frac{\partial g}{\partial v} $, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
E de forma análoga para $ \frac{\partial g}{\partial v} $:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $:
Usando a regra da derivada da função composta, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $ e $ v $:
Passo 6
Vamos substituir tudo na fórmula da regra da cadeia para $ \frac{\partial g}{\partial u} $:
Simplificando:
Podemos fatorar $ -\sin(x^{2} - y^{2}) $:
Passo 7
Fazendo o mesmo para $ \frac{\partial g}{\partial v} $:
Simplificando:
Fatorando $ \sin(x^{2} - y^{2}) $:
Resposta
As derivadas parciais são:
e