Determine as derivadas parciais das funções abaixo usando a regra da cadeia:
g(x, y)=cos (x^2-y^2), sabendo que x=2 u-3 v, y=-5 u+8 v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais da função $ g(x, y) = \cos(x^{2} - y^{2}) $ em relação a $ u $ e $ v $, usando a regra da cadeia. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar como $ x $ e $ y $ dependem de $ u $ e $ v $. Temos:
x
y
Isso significa que $ g $ é uma função composta: $ g(u, v) = \cos\left( (2u - 3v)^2 - (-5u + 8v)^2 \right) $.

Passo 3

Para encontrar as derivadas parciais $ \frac{\partial g}{\partial u} $ e $ \frac{\partial g}{\partial v} $, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
partial gpartial u
E de forma análoga para $ \frac{\partial g}{\partial v} $:
partial gpartial v

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais de $ g $ em relação a $ x $ e $ y $:
g
Usando a regra da derivada da função composta, temos:
x
y

Passo 5

Agora, vamos encontrar as derivadas de $ x $ e $ y $ em relação a $ u $ e $ v $:
x
y

Passo 6

Vamos substituir tudo na fórmula da regra da cadeia para $ \frac{\partial g}{\partial u} $:
partial gpartial u
Simplificando:
partial gpartial u = ( -2x sin(x^2 - y^2) ) cdot 2 + ( 2y sin(x^2 - y^2) ) cdot (-5)
Podemos fatorar $ -\sin(x^{2} - y^{2}) $:
partial gpartial u = -4x sin(x^2 - y^2) - 10y sin(x^2 - y^2)

Passo 7

Fazendo o mesmo para $ \frac{\partial g}{\partial v} $:
partial gpartial v
Simplificando:
partial gpartial v = ( -2x sin(x^2 - y^2) ) cdot (-3) + ( 2y sin(x^2 - y^2) ) cdot 8
Fatorando $ \sin(x^{2} - y^{2}) $:
partial gpartial v = 6x sin(x^2 - y^2) + 16y sin(x^2 - y^2)

Resposta

As derivadas parciais são:
partial gpartial u = -sin(x^2 - y^2) (4x + 10y)
e
partial gpartial v = sin(x^2 - y^2) (6x + 16y)

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