Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
67) sum k!2^k+2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumk=1^infty k!2^k+2 converge ou diverge; o conteúdo envolve testes de convergência de séries, e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral ak = k!2^k+2 e aplicamos o teste da razão, calculando a razão entre termos consecutivos:

Passo 3

Calculamos a razão e seu limite:
ak+1ak = (k+1)!2^k+3 cdot 2^k+2k! = k+12,
limktoinfty k+12 = +infty > 1
Pelo teste da razão, limite maior que 1 implica divergência da série.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão, pois o limite da razão é infinito (>1).

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