Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
71) sum k!e^3 k

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos a série Σ(k! / e^{3k}) e queremos saber se ela converge ou diverge. O conteúdo envolvido é séries numéricas e vamos usar o teste da razão.

Passo 2

O teste da razão diz que, para a série com termo geral ak, calculamos L = limktoinfty |ak+1/ak|. Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 ela diverge; e se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aplicando ao nosso termo ak = k!e^3k, temos:
ak+1ak = (k+1)!/e^3(k+1)k!/e^3k = k+1e^3

Passo 4

Agora avaliamos o limite:
limktoinfty k+1e^3 = infty,

Passo 5

Como esse limite é maior que 1, o teste da razão garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge pelo teste da razão, pois o limite da razão entre termos sucessivos é infty>1.

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