Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D.
f(x, y)=2x+y e D é o conjunto formado pelos pontos (x, y) tais que x^2+4y^2 <= 1.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função no conjunto , onde é formado pelos pontos que satisfazem . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre otimização de funções em regiões delimitadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que o conjunto é uma elipse definida pela equação . Nosso objetivo é encontrar os pontos dentro dessa elipse onde a função atinge seus valores máximo e mínimo. Para isso, precisamos verificar os pontos críticos dentro de e também analisar a função ao longo da fronteira da elipse.

Passo 3

Vamos começar encontrando os pontos críticos da função partial fpartial x = 2 e partial fpartial y = 1 . Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e :
Como ambas as derivadas são constantes e nunca iguais a zero simultaneamente, concluímos que não existem pontos críticos internos na região . Portanto, os valores máximo e mínimo absolutos devem ocorrer na fronteira da elipse .

Passo 4

Para analisar a função ao longo da fronteira da elipse, podemos parametrizá-la. Sabemos que uma elipse com equação x = a cos theta e y = b sin theta pode ser parametrizada por:
x = cos theta e y = 12 sin theta
No nosso caso, comparando com , temos e . Então, a parametrização fica:

Passo 5

Substituímos essas expressões na função f(theta) = 2x + y = 2cos theta + 12 sin theta :
Agora, nossa tarefa é encontrar os valores de que maximizam e minimizam .

Passo 6

Para encontrar os extremos de f'(theta) = -2sin theta + 12cos theta = 0 , derivamos em relação a -2sin theta + 12cos theta = 0 Rightarrow 4sin theta = cos theta Rightarrow tan theta = 14 e igualamos a zero:
Resolvendo para :
Isso nos dá os valores de onde ocorrem os extremos.

Passo 7

Calculamos então f(arctan(14)) = 2cos(arctan(14)) + 12sin(arctan(14)) para f(arctan(14) + pi) = 2cos(arctan(14) + pi) + 12sin(arctan(14) + pi) e para encontrar os valores máximo e mínimo:
Calculando esses valores, obtemos os valores máximo e mínimo absolutos da função no conjunto .

Resposta

Os valores máximo e mínimo absolutos da função no conjunto são aproximadamente:
  • Máximo absoluto:
  • Mínimo absoluto:
Esses valores ocorrem nos pontos da fronteira da elipse onde e , respectivamente.

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