Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto
.
e
é o conjunto formado pelos pontos
tais que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
, onde
é formado pelos pontos
que satisfazem
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente sobre otimização de funções em regiões delimitadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que o conjunto
é uma elipse definida pela equação
. Nosso objetivo é encontrar os pontos dentro dessa elipse onde a função
atinge seus valores máximo e mínimo. Para isso, precisamos verificar os pontos críticos dentro de
e também analisar a função ao longo da fronteira da elipse.
Passo 3
Vamos começar encontrando os pontos críticos da função
. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Como ambas as derivadas são constantes e nunca iguais a zero simultaneamente, concluímos que não existem pontos críticos internos na região
. Portanto, os valores máximo e mínimo absolutos devem ocorrer na fronteira da elipse
.
Passo 4
Para analisar a função ao longo da fronteira da elipse, podemos parametrizá-la. Sabemos que uma elipse com equação
pode ser parametrizada por:
No nosso caso, comparando com
, temos
e
. Então, a parametrização fica:
Passo 5
Substituímos essas expressões na função
:
Agora, nossa tarefa é encontrar os valores de
que maximizam e minimizam
.
Passo 6
Para encontrar os extremos de
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Resolvendo para
:
Isso nos dá os valores de
onde ocorrem os extremos.
Passo 7
Calculamos então
para
e
para encontrar os valores máximo e mínimo:
Calculando esses valores, obtemos os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
.
Resposta
Os valores máximo e mínimo absolutos da função
no conjunto
são aproximadamente:
- Máximo absoluto:
- Mínimo absoluto:
Esses valores ocorrem nos pontos da fronteira da elipse onde
e
, respectivamente.