Considere
definida por
e determine
a derivada segunda de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida por uma integral:
Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada dessa função, ou seja, $ g’’(x) $. Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e as Regras de Derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ g(x) $, que é $ g’(x) $. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral como esta, a derivada dela em relação a $ x $ é simplesmente o integrando avaliado em $ x $. Ou seja:
Passo 3
Agora que temos $ g’(x) $, precisamos encontrar a segunda derivada $ g’’(x) $, que é a derivada de $ g’(x) $. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente de derivação, que é aplicada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.
A Regra do Quociente diz que se temos uma função $ h(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então sua derivada é:
Passo 4
Vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $ na nossa função $ g’(x) $:
- $ u(x) = x^{2} + 1 $
- $ v(x) = \cos(x) + 1 $
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
- $ u’(x) = 2x $ (derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $, e a derivada de 1 é 0)
- $ v’(x) = -\sin(x) $ (derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $, e a derivada de 1 é 0)
Passo 5
Aplicando a Regra do Quociente:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Resposta
A segunda derivada de $ g(x) $ é: