Considere g definida por
g(x)=integral0^x t^2+1cos (t)+1 d t
e determine g^prime prime a derivada segunda de g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma função definida por uma integral:
g(x) = integral0^x t^2 + 1cos(t) + 1 , dt
Nosso objetivo é encontrar a segunda derivada dessa função, ou seja, $ g’’(x) $. Para isso, vamos precisar usar o Teorema Fundamental do Cálculo e as Regras de Derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de $ g(x) $, que é $ g’(x) $. Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se temos uma função definida por uma integral como esta, a derivada dela em relação a $ x $ é simplesmente o integrando avaliado em $ x $. Ou seja:
g(x)

Passo 3

Agora que temos $ g’(x) $, precisamos encontrar a segunda derivada $ g’’(x) $, que é a derivada de $ g’(x) $. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente de derivação, que é aplicada quando temos uma função que é o quociente de duas outras funções.
A Regra do Quociente diz que se temos uma função $ h(x) = \frac{u(x)}{v(x)} $, então sua derivada é:
g'(x)

Passo 4

Vamos identificar $ u(x) $ e $ v(x) $ na nossa função $ g’(x) $:
  • $ u(x) = x^{2} + 1 $
  • $ v(x) = \cos(x) + 1 $
Agora, vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
  • $ u’(x) = 2x $ (derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $, e a derivada de 1 é 0)
  • $ v’(x) = -\sin(x) $ (derivada de $ \cos(x) $ é $ -\sin(x) $, e a derivada de 1 é 0)

Passo 5

Aplicando a Regra do Quociente:
g''(x) = u'(x) cdot v(x) - u(x) cdot v'(x)[v(x)]^2 = 2x cdot (cos(x) + 1) - (x^2 + 1) cdot (-sin(x))[cos(x) + 1]^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
g''(x) = 2x(cos(x) + 1) + (x^2 + 1)sin(x)[cos(x) + 1]^2

Resposta

A segunda derivada de $ g(x) $ é:
g(x)

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