Use a Regra da Cadeia para calcular dz/dt quando t=2.
z=x^3+y^2+xy, x=cos t e y=e^t.

Passo 1

Vamos lá! Você quer descobrir quanto que z muda em relação a t quando t = 2. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia da derivada, que é uma ferramenta essencial no Cálculo Diferencial. Precisamos entender como z depende de x e y, e como x e y dependem de t.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a função z em termos de x e y:
z = x^3 + y^2 + xy
Aqui, x e y são funções de t:
x = cos t y = e^t
Para aplicar a Regra da Cadeia, precisamos encontrar as derivadas parciais de z em relação a x e a y.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
  • Derivada de z em relação a x:
partial zpartial x = 3x^2 + y
  • Derivada de z em relação a y:
partial zpartial y = 2y + x
Essas derivadas nos dizem como z muda quando apenas x ou y muda.

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas de x e y em relação a t:
  • Derivada de x em relação a t:
dxdt = -sin t
  • Derivada de y em relação a t:
dydt = e^t
Essas derivadas mostram como x e y mudam conforme t muda.

Passo 5

Aplicando a Regra da Cadeia para encontrar dzdt:
dzdt = partial zpartial x cdot dxdt + partial zpartial y cdot dydt
Substituindo as derivadas que encontramos:
dzdt = (3x^2 + y)(-sin t) + (2y + x)(e^t)
Agora, vamos substituir t = 2 e calcular cada parte.

Resposta

Após substituir t = 2 e calcular todos os termos, obtemos:
dzdtg|t=2 = (3cos^2(2) + e^2)(-sin 2) + (2e^2 + cos 2)e^2
Calculando numéricamente:
dzdtg|t=2 approx (3( -0.4161)^2 + 7.3891)(-0.9093) + (2 cdot 7.3891 + (-0.4161)) cdot 7.3891 approx (3 cdot 0.1733 + 7.3891)(-0.9093) + (14.7782 - 0.4161) cdot 7.3891 approx (0.5199 + 7.3891)(-0.9093) + (14.3621) cdot 7.3891 approx 7.9090 cdot (-0.9093) + 106.2767 approx -7.19 + 106.2767 approx 99.0867
Portanto, dzdt quando t = 2 é aproximadamente 99.09.

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