Questão 3 (2,0 pontos)
Calcule a integral de superfície
, em que
é o hemisfério superior da esfera de raio
centrada na origem do espaço cartesiano.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície
onde
é o hemisfério superior da esfera de raio
centrada na origem.
O conteúdo é integral de superfície em coordenadas esféricas, usando que em uma esfera de raio constante vale
e
.
O conteúdo é integral de superfície em coordenadas esféricas, usando que em uma esfera de raio constante
Passo 2
Parametrizamos
em coordenadas esféricas como
com
,
(hemisfério superior) e
.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o elemento de área na esfera de raio
é
O integrando satisfaz
constante em toda a superfície.
Passo 4
Substituindo na integral dupla, temos
Calculamos
logo a integral é
Como
, então
.