Questão 3 (2,0 pontos)

Calcule a integral de superfície \iint_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} d S, em que S é o hemisfério superior da esfera de raio \sqrt{2} centrada na origem do espaço cartesiano.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S} \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dS,
onde S é o hemisfério superior da esfera de raio \sqrt{2} centrada na origem.
O conteúdo é integral de superfície em coordenadas esféricas, usando que em uma esfera de raio constante a vale \sqrt{x^2+y^2+z^2}=a e dS=a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 2

Parametrizamos S em coordenadas esféricas como
x=a\sin\varphi\cos\theta,\quad y=a\sin\varphi\sin\theta,\quad z=a\cos\varphi,
com a=\sqrt{2}, \varphi\in[0,\tfrac{\pi}{2}] (hemisfério superior) e \theta\in[0,2\pi].

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o elemento de área na esfera de raio a é
dS = a^{2}\sin\varphi \,d\varphi\,d\theta.
O integrando satisfaz
\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} = \rho = a = \sqrt{2},
constante em toda a superfície.

Passo 4

Substituindo na integral dupla, temos
\iint_{S}\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}\;dS = \int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \bigl(a\bigr)\bigl(a^{2}\sin\varphi\bigr)\,d\varphi\,d\theta = a^{3} \int_{0}^{2\pi}\!d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\sin\varphi\,d\varphi.
Calculamos
\int_{0}^{2\pi}\!d\theta = 2\pi, \qquad \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\!\sin\varphi\,d\varphi = 1,
logo a integral é
a^{3}\cdot 2\pi \cdot 1 = 2\pi\,a^{3}.
Como a=\sqrt{2}, então a^{3}=(\sqrt{2})^{3}=2\sqrt{2}.

Resposta

4\sqrt{2}\,\pi

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