Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{1}{n \ln ^{2}(n)}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum a_{n} com termo geral
a_n=\frac{1}{n\ln^{2}(n)}
converge ou diverge. Informações importantes que o enunciado dá:
  • O termo geral envolve \ln(n), portanto é necessário que n seja tal que \ln(n) esteja definido e não nulo. Logo a partir de n=2 os termos fazem sentido (pois \ln(1)=0 daria divisão por zero). Assim consideraremos a série a partir de n=2:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}(n)}.
  • Os termos a_n são positivos para n\ge 2 (já que n>0 e \ln(n)>0).
    A pergunta é: essa série numérica de termos positivos converge ou diverge?

Passo 2

Escolha do método: vou usar o teste da integral (Integral Test). Por quê? Porque o termo geral tem a forma de uma função contínua positiva decrescente em x para x grande, e o teste da integral é direto e natural para termos do tipo \dfrac{1}{x(\ln x)^p}. Lembrando o enunciado do teste da integral (explicação didática):
  • Seja f(x) contínua, positiva e decrescente em [N,\infty). Se definirmos a_n=f(n), então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge (é finita).
    Vou verificar que as hipóteses do teste valem para f(x)=\dfrac{1}{x\ln^{2}x}.

Passo 3

Verificar as hipóteses do teste da integral:
  • Continuidade e positividade: para x\ge 2 temos x>0 e \ln x>0, então f(x)=\dfrac{1}{x\ln^{2}x} é positiva e contínua em [2,\infty).
  • Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada para provar que f é decrescente em (1,\infty).
    Escrevendo f(x)=(x\ln^{2}x)^{-1}, sua derivada é
f'(x)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\ln^{2}x\bigr)\cdot (x\ln^{2}x)^{-2}.
Agora calculo \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\ln^{2}x\bigr):
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\bigl(x\ln^{2}x\bigr)=\ln^{2}x + x\cdot 2\ln x\cdot\frac{1}{x}=\ln^{2}x+2\ln x=\ln x(\ln x+2).
Portanto
f'(x)=-\frac{\ln x(\ln x+2)}{x^{2}\ln^{4}x}=-\frac{\ln x+2}{x^{2}\ln^{3}x}.
Para x>1 tem-se \ln x>0 e assim \ln x+2>0; com x^{2}\ln^{3}x>0 segue f'(x)<0. Logo f é decrescente em [2,\infty). As hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicação do teste da integral: calcular a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln^{2}x}\,dx.
Para resolver essa integral uso a substituição natural u=\ln x. Então \mathrm{d}u=\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x, logo \dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}u. Quando x=2 temos u=\ln 2; quando x\to\infty temos u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln^{2}x}\,dx=\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u^{2}}\,du.
A integral \int_{\ln 2}^{\infty} u^{-2}\,du é uma integral impropria simples; calcule:
\int_{\ln 2}^{\infty}u^{-2}\,du=\left[-\frac{1}{u}\right]_{u=\ln 2}^{u=\infty}=\lim_{b\to\infty}\left(-\frac{1}{b}+\frac{1}{\ln 2}\right)=\frac{1}{\ln 2}.
O valor é finito, ou seja, a integral converge (para o número \dfrac{1}{\ln 2}).

Passo 5

Conclusão pelo teste da integral: como f(x)=\dfrac{1}{x\ln^{2}x} é positiva, contínua e decrescente em [2,\infty) e a integral \int_{2}^{\infty}f(x)\,dx converge, então a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}n}
converge.
Observação adicional (intuitiva e útil na prova): existe um resultado geral — frequentemente usado em provas — de que a série \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{n(\ln n)^{p}} converge se, e somente se, p>1. No nosso caso p=2>1, então a convergência era esperada. Outra alternativa de demonstração é usar o teste de condensação de Cauchy: para a_n decrescente e positivo, \sum a_n converge iff \sum 2^{k}a_{2^{k}} converge; para \dfrac{1}{n\ln^{2}n} isso leva a uma série equivalente a \sum \dfrac{1}{k^{2}}, que converge. Ambas as ideias reforçam a conclusão.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n\ln^{2}n} converge.

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