Determine a convergência ou não da série
onde o termo geral
é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
com termo geral
converge ou diverge. Informações importantes que o enunciado dá:
- O termo geral envolve
, portanto é necessário que seja tal que esteja definido e não nulo. Logo a partir de os termos fazem sentido (pois daria divisão por zero). Assim consideraremos a série a partir de :
- Os termos
são positivos para (já que e ).
A pergunta é: essa série numérica de termos positivos converge ou diverge?
Passo 2
Escolha do método: vou usar o teste da integral (Integral Test). Por quê? Porque o termo geral tem a forma de uma função contínua positiva decrescente em
para
grande, e o teste da integral é direto e natural para termos do tipo
. Lembrando o enunciado do teste da integral (explicação didática):
- Seja
contínua, positiva e decrescente em . Se definirmos , então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge (é finita).
Vou verificar que as hipóteses do teste valem para.
Passo 3
Verificar as hipóteses do teste da integral:
- Continuidade e positividade: para
temos e , então é positiva e contínua em . - Monotonicidade (decrescente): calculo a derivada para provar que
é decrescente em .
Escrevendo, sua derivada é
Agora calculo
:
Portanto
Para
tem-se
e assim
; com
segue
. Logo
é decrescente em
. As hipóteses do teste da integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicação do teste da integral: calcular a integral imprópria
Para resolver essa integral uso a substituição natural
. Então
, logo
. Quando
temos
; quando
temos
. Assim
A integral
é uma integral impropria simples; calcule:
O valor é finito, ou seja, a integral converge (para o número
).
Passo 5
Conclusão pelo teste da integral: como
é positiva, contínua e decrescente em
e a integral
converge, então a série
converge.
Observação adicional (intuitiva e útil na prova): existe um resultado geral — frequentemente usado em provas — de que a série
converge se, e somente se,
. No nosso caso
, então a convergência era esperada. Outra alternativa de demonstração é usar o teste de condensação de Cauchy: para
decrescente e positivo,
converge iff
converge; para
isso leva a uma série equivalente a
, que converge. Ambas as ideias reforçam a conclusão.
Resposta
A série
converge.