Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{4 n}{n^{3}-10}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série \sum a_{n} converge ou não, onde o termo geral é
a_{n}=\frac{4n}{n^{3}-10}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula do termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{4n}{n^{3}-10}.
  • Não há indicação de método obrigatório — preciso escolher um teste apropriado.
  • Importante: apenas o comportamento para n grande decide a convergência de uma série; os primeiros termos (um número finito) não alteram a convergência ou divergência.

Passo 2

Analisar o sinal e o comportamento inicial dos termos (isso ajuda a escolher o teste).
  • Para n=1: a_{1}=\dfrac{4\cdot1}{1-10}=\dfrac{4}{-9}<0.
  • Para n=2: a_{2}=\dfrac{8}{8-10}=\dfrac{8}{-2}=-4<0.
  • Para n\ge3 tem-se n^{3}\ge27>10, logo n^{3}-10>0 e portanto a_{n}>0 para todo n\ge3.
    Conclusão: a partir de n=3 os termos são positivos; os dois primeiros termos são finitOs e não influenciam a decisão de convergência da série infinita.

Passo 3

Lembrar um teste básico e útil: a série p (p-series).
  • A p-série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}}.
  • Resultado conhecido: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{p}} converge se, e somente se, p>1.
  • Em particular, \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (porque p=2>1).

Passo 4

Apresentar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test), que é adequado quando os termos são positivos a partir de algum índice.
  • Enunciado do teste (forma prática): sejam (a_{n}) e (b_{n}) sequências com a_{n}\ge0, b_{n}\ge0 para n suficientemente grande. Se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}}=L
existe com 0<L<\infty, então as séries \sum a_{n} e \sum b_{n} têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
  • Estratégia: comparar a_{n} com b_{n}=\dfrac{1}{n^{2}} (pelo aspecto racional de a_{n} espera-se que ele se comporte como constante vezes 1/n^{2}).

Passo 5

Aplicar o Teste da Comparação por Limite com b_{n}=\dfrac{1}{n^{2}}.
Calcular
\frac{a_{n}}{b_{n}} = a_{n}\cdot n^{2} = \frac{4n}{n^{3}-10}\cdot n^{2} = \frac{4n^{3}}{n^{3}-10}.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{4n^{3}}{n^{3}-10}.
Para calcular esse limite, dividir numerador e denominador por n^{3}:
\lim_{n\to\infty}\frac{4}{1-\dfrac{10}{n^{3}}} = \frac{4}{1-0}=4.
Logo o limite existe e vale L=4, que é um número finito e estritamente positivo.

Passo 6

Interpretar o resultado do teste:
  • Pelo Teste da Comparação por Limite, como L=4\in(0,\infty), a série \sum a_{n} tem o mesmo comportamento que \sum \dfrac{1}{n^{2}}.
  • Como já sabemos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} converge (p-série com p=2>1), conclui-se que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} também converge.

Passo 7

Comentário final e reforço didático (como usar isso na prova):
  • Observação prática: para séries racionais onde o grau do numerador é d_{N} e o grau do denominador é d_{D}, se d_{D}-d_{N}=k>1 então o termo geral costuma comportar-se como 1/n^{k} e a série tende a convergir (pois é comparável a uma p-série com p=k). No problema dado, d_{N}=1 e d_{D}=3, então k=2 e a comparação com 1/n^{2} é natural.
  • Sobre convergência absoluta: como para n\ge3 tem-se a_{n}>0, a soma dos valores absolutos \sum |a_{n}| difere apenas por um número finito de termos da própria série com termos positivos; aplicando o mesmo teste à série \sum |a_{n}| obtém-se convergência. Portanto a série é também absolutamente convergente.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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