Determine a convergência ou não da série
onde o termo geral
é dado por:
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série
converge ou não, onde o termo geral é
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula do termo geral é
. - Não há indicação de método obrigatório — preciso escolher um teste apropriado.
- Importante: apenas o comportamento para
grande decide a convergência de uma série; os primeiros termos (um número finito) não alteram a convergência ou divergência.
Passo 2
Analisar o sinal e o comportamento inicial dos termos (isso ajuda a escolher o teste).
- Para
: . - Para
: . - Para
tem-se , logo e portanto para todo .
Conclusão: a partir deos termos são positivos; os dois primeiros termos são finitOs e não influenciam a decisão de convergência da série infinita.
Passo 3
Lembrar um teste básico e útil: a série p (p-series).
- A p-série é
. - Resultado conhecido:
converge se, e somente se, . - Em particular,
converge (porque ).
Passo 4
Apresentar o Teste da Comparação por Limite (limit comparison test), que é adequado quando os termos são positivos a partir de algum índice.
- Enunciado do teste (forma prática): sejam
e sequências com , para suficientemente grande. Se
existe com
, então as séries
e
têm o mesmo comportamento: ou ambas convergem ou ambas divergem.
- Estratégia: comparar
com (pelo aspecto racional de espera-se que ele se comporte como constante vezes ).
Passo 5
Aplicar o Teste da Comparação por Limite com
.
Calcular
Calcular
Agora o limite quando
:
Para calcular esse limite, dividir numerador e denominador por
:
Logo o limite existe e vale
, que é um número finito e estritamente positivo.
Passo 6
Interpretar o resultado do teste:
- Pelo Teste da Comparação por Limite, como
, a série tem o mesmo comportamento que . - Como já sabemos que
converge (p-série com ), conclui-se que também converge.
Passo 7
Comentário final e reforço didático (como usar isso na prova):
- Observação prática: para séries racionais onde o grau do numerador é
e o grau do denominador é , se então o termo geral costuma comportar-se como e a série tende a convergir (pois é comparável a uma p-série com ). No problema dado, e , então e a comparação com é natural. - Sobre convergência absoluta: como para
tem-se , a soma dos valores absolutos difere apenas por um número finito de termos da própria série com termos positivos; aplicando o mesmo teste à série obtém-se convergência. Portanto a série é também absolutamente convergente.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).