Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
n\left(\frac{1}{2}\right)^{n}
Passo 1
O enunciado dá a série \sum a_{n} com termo geral
a_{n} = n\left(\frac{1}{2}\right)^{n},
e pede para determinar se essa série converge ou não (assume-se a soma sobre n=1,2,3,\ldots). Informações relevantes extraídas do enunciado:
O termo geral é positivo para todo n.
A série é de termos positivos, o que facilita usar testes de convergência para séries com termos não-negativos.
O que se quer saber: se \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} converge (e, se possível, qual é seu valor).
Passo 2
Vou aplicar o critério da razão (teste da razão), que é bem apropriado quando há fator exponencial do tipo \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} multiplicando um fator polinomial em n.
Lembrete do teste da razão (enunciado e interpretação):
Para uma série com termos a_{n} (não necessariamente positivos), define-se
Como L=\dfrac{1}{2}<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge absolutamente, portanto converge.
Passo 3
Para além de apenas dizer que converge, é útil saber que existe uma fórmula fechada para séries do tipo \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} quando |r|<1. Vou deduzir essa fórmula passo a passo (método clássico: derivação da série geométrica).
Essa igualdade é válida ponto a ponto para |r|<1. Diferenciando ambos os lados em relação a r (diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência), obtenho
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{\,n-1} = \frac{1}{(1-r)^{2}},\qquad \text{para }|r|<1.
Multiplicando essa identidade por r resulta em
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^{2}},\qquad \text{para }|r|<1.
Essa é a fórmula fechada que queremos.
Passo 4
Agora aplico a fórmula com r=\dfrac{1}{2} (que satisfaz |r|<1):
Pelo teste da razão a série converge absolutamente porque a parte exponencial \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} vence o crescimento linear em n.
Além disso, a soma da série é exatamente \;2 (usando a fórmula derivada da série geométrica).
Bom trabalho chegando até aqui — séries com termo do tipo polinomial vezes exponencial costumam ser resolvidas com o teste da razão ou usando a técnica de derivar a série geométrica quando se quer a soma fechada.