Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
n \left(\frac{1}{2}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado dá a série \sum a_{n} com termo geral
a_{n} = n\left(\frac{1}{2}\right)^{n},
e pede para determinar se essa série converge ou não (assume-se a soma sobre n=1,2,3,\ldots). Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é positivo para todo n.
  • A série é de termos positivos, o que facilita usar testes de convergência para séries com termos não-negativos.
  • O que se quer saber: se \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} converge (e, se possível, qual é seu valor).

Passo 2

Vou aplicar o critério da razão (teste da razão), que é bem apropriado quando há fator exponencial do tipo \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} multiplicando um fator polinomial em n.
Lembrete do teste da razão (enunciado e interpretação):
  • Para uma série com termos a_{n} (não necessariamente positivos), define-se
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|.
  • Se L<1 então a série converge absolutamente (logo converge).
  • Se L>1 então a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Agora calculo a razão para nossos termos. Primeiro escrevo a_{n+1}:
a_{n+1} = (n+1)\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}.
A razão (módulo desnecessário pois os termos são positivos) é
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{(n+1)\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}} = \frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2}.
Agora tomo o limite quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\cdot\frac{1}{2} = 1\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Como L=\dfrac{1}{2}<1, pelo teste da razão a série \sum_{n=1}^{\infty} n\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n} converge absolutamente, portanto converge.

Passo 3

Para além de apenas dizer que converge, é útil saber que existe uma fórmula fechada para séries do tipo \sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} quando |r|<1. Vou deduzir essa fórmula passo a passo (método clássico: derivação da série geométrica).
Começo pela série geométrica conhecida:
\sum_{n=0}^{\infty} r^{n} = \frac{1}{1-r},\qquad \text{para }|r|<1.
Essa igualdade é válida ponto a ponto para |r|<1. Diferenciando ambos os lados em relação a r (diferenciação termo a termo é válida dentro do raio de convergência), obtenho
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{\,n-1} = \frac{1}{(1-r)^{2}},\qquad \text{para }|r|<1.
Multiplicando essa identidade por r resulta em
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^{2}},\qquad \text{para }|r|<1.
Essa é a fórmula fechada que queremos.

Passo 4

Agora aplico a fórmula com r=\dfrac{1}{2} (que satisfaz |r|<1):
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\left(1-\tfrac{1}{2}\right)^{2}}.
Calculo o denominador: 1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2}, então
\frac{\tfrac{1}{2}}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}} = \frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}} = 2.

Passo 5

Conclusão e intuição final (breve e motivadora):
  • Pelo teste da razão a série converge absolutamente porque a parte exponencial \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n} vence o crescimento linear em n.
  • Além disso, a soma da série é exatamente \;2 (usando a fórmula derivada da série geométrica).
  • Bom trabalho chegando até aqui — séries com termo do tipo polinomial vezes exponencial costumam ser resolvidas com o teste da razão ou usando a técnica de derivar a série geométrica quando se quer a soma fechada.

Resposta

A série converge absolutamente e
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = 2.

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