Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{\sin (n)}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum a_n \quad\text{com}\quad a_n=\frac{\sin(n)}{n^{2}}
converge ou não. Informações que temos:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{\sin(n)}{n^{2}}.
  • A sequência (\sin(n))_{n\ge1} é limitada: |\sin(n)|\le 1 para todo n.
  • A pergunta é única: decidir convergência (ou divergência) da série dada.

Passo 2

Conceito importante que vamos usar: convergência absoluta.
  • Definição: uma série \sum a_n é dita absolutamente convergente se a série formada pelos módulos \sum |a_n| converge.
  • Teorema útil: se \sum |a_n| converge (ou seja, se a série é absolutamente convergente), então \sum a_n converge (convergência absoluta implica convergência). Em palavras: controlar os módulos dos termos garante que os sinais oscilantes não impeçam a soma de se estabilizar.
    Explicação curta do porquê (intuição): se os módulos somam a um número finito, então as flutuações de sinal somadas não podem produzir uma soma divergente — formalmente isso vem do critério de Cauchy ou da desigualdade triangular aplicada às somas parciais.

Passo 3

Outro instrumento que vamos usar: teste de comparação.
  • Enunciado simples do teste de comparação direta: se 0\le b_n\le c_n para todo n e \sum c_n converge, então \sum b_n também converge.
  • Aplicação típica: comparar com uma série p, isto é, com \sum \dfrac{1}{n^{p}}. Sabe-se (resultado padrão) que a série p converge se, e somente se, p>1. Em particular, \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge.

Passo 4

Aplicando os conceitos ao nosso termo:
  • Calcule o módulo do termo geral:
|a_n|=\left|\frac{\sin(n)}{n^{2}}\right|=\frac{|\sin(n)|}{n^{2}}.
  • Usando que |\sin(n)|\le 1 para todo n, obtemos a desigualdade
|a_n|=\frac{|\sin(n)|}{n^{2}}\le\frac{1}{n^{2}}.

Passo 5

Comparação com a série p:
  • A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma série p com p=2. Como 2>1, essa série converge (é um resultado clássico; nota: o valor exato é \zeta(2)=\pi^{2}/6, mas só importa que seja finito).
  • Pelo teste de comparação direta, como 0\le |a_n|\le \dfrac{1}{n^{2}} e \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, segue que \sum |a_n| converge.

Passo 6

Conclusão final lógica:
  • Concluímos que \sum |a_n| converge, ou seja, a série \sum a_n é absolutamente convergente.
  • Pelo teorema citado, a convergência absoluta implica convergência; portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^{2}} converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^{2}} converge absolutamente, logo converge.

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