A sequência (\sin(n))_{n\ge1} é limitada: |\sin(n)|\le 1 para todo n.
A pergunta é única: decidir convergência (ou divergência) da série dada.
Passo 2
Conceito importante que vamos usar: convergência absoluta.
Definição: uma série \sum a_n é dita absolutamente convergente se a série formada pelos módulos \sum |a_n| converge.
Teorema útil: se \sum |a_n| converge (ou seja, se a série é absolutamente convergente), então \sum a_n converge (convergência absoluta implica convergência). Em palavras: controlar os módulos dos termos garante que os sinais oscilantes não impeçam a soma de se estabilizar.
Explicação curta do porquê (intuição): se os módulos somam a um número finito, então as flutuações de sinal somadas não podem produzir uma soma divergente — formalmente isso vem do critério de Cauchy ou da desigualdade triangular aplicada às somas parciais.
Passo 3
Outro instrumento que vamos usar: teste de comparação.
Enunciado simples do teste de comparação direta: se 0\le b_n\le c_n para todo n e \sum c_n converge, então \sum b_n também converge.
Aplicação típica: comparar com uma série p, isto é, com \sum \dfrac{1}{n^{p}}. Sabe-se (resultado padrão) que a série p converge se, e somente se, p>1. Em particular, \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge.
Usando que |\sin(n)|\le 1 para todo n, obtemos a desigualdade
|a_n|=\frac{|\sin(n)|}{n^{2}}\le\frac{1}{n^{2}}.
Passo 5
Comparação com a série p:
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} é uma série p com p=2. Como 2>1, essa série converge (é um resultado clássico; nota: o valor exato é \zeta(2)=\pi^{2}/6, mas só importa que seja finito).
Pelo teste de comparação direta, como 0\le |a_n|\le \dfrac{1}{n^{2}} e \sum \dfrac{1}{n^{2}} converge, segue que \sum |a_n| converge.
Passo 6
Conclusão final lógica:
Concluímos que \sum |a_n| converge, ou seja, a série \sum a_n é absolutamente convergente.
Pelo teorema citado, a convergência absoluta implica convergência; portanto a série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^{2}} converge.
Resposta
A série \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\sin(n)}{n^{2}} converge absolutamente, logo converge.