Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência de cada série.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede duas coisas: (1) verificar que a função que estende o termo geral atende às hipóteses do Teste da Integral; (2) decidir sobre a convergência da série.
Informações relevantes fornecidas: o somatório começa em e o termo geral é
.
Informações relevantes fornecidas: o somatório começa em
Passo 2
Primeiro simplifico o termo geral algebraicamente (isso ajuda a ver uma função contínua simples para estender):
Portanto o termo geral é
A extensão natural para variável real é a função
definida para
. Como a série começa em
, vamos considerar
no intervalo
.
Passo 3
Verifico que
é positiva e contínua em
.
-
Positividade: para
tem-se e , logo .
(Aqui explicando: denominar positivo e numeradorimplicam função positiva.) -
Continuidade:
é uma função racional . Denominador não se anula para , logo é contínua em .
(Racional é contínua onde o denominador é diferente de zero.)
Passo 4
Verifico que
é decrescente em
calculando a derivada e analisando o sinal.
Calculo a derivada:
Aplicando a regra da cadeia e do quociente,
Observe os sinais para
:
- O numerador
é positivo quando ; em particular, para tem-se . - O denominador
é sempre positivo para , e para é positivo.
Portanto
para todo
. Conclusão:
é decrescente em
.
Assim
satisfaz as hipóteses do Teste da Integral:
é contínua, positiva e decrescente em
e
.
Passo 5
Enunciado do Teste da Integral (resumido e explicado): se
é contínua, positiva e decrescente em
e
, então a série
converge se, e somente se, a integral imprópria
converge (isto é, tem valor finito). Aqui
.
Logo, para decidir convergência da série calculemos
Passo 6
Calculo a integral por frações parciais. Procuro constantes
Multiplicando por
obtemos
Comparando coeficientes:
Da segunda equação
. Portanto
Integro:
Aplicando o limite impróprio
:
Agora
, então
. E
. Assim
que é finito. Portanto a integral imprópria converge.]
Passo 7
Pelo Teste da Integral, como a integral
converge e
satisfaz as hipóteses (contínua, positiva, decrescente em
), a série
converge. Bom trabalho — já que a integral deu
, a série não só converge como tem comportamento controlado.
Passo 8
(Observação útil e didática: a própria série é telescópica, então dá para obter a soma exata.) Considere a soma parcial
. Reescrevendo os termos:
Ao combinar as duas somas, muitos termos se cancelam e fica
Fazendo limite
os três últimos termos vão a zero, logo a soma da série é
Resposta
A série converge; soma
.