Verifique que a função que estende o n-ésimo termo de cada série dada abaixo atende às hipóteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergência de cada série.
\sum_{n=4}^{+\infty}\left[\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right]

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=4}^{+\infty}\left[\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right]
e pede duas coisas: (1) verificar que a função que estende o termo geral atende às hipóteses do Teste da Integral; (2) decidir sobre a convergência da série.
Informações relevantes fornecidas: o somatório começa em n=4 e o termo geral é \dfrac{1}{n-3}-\dfrac{1}{n}.

Passo 2

Primeiro simplifico o termo geral algebraicamente (isso ajuda a ver uma função contínua simples para estender):
\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}=\frac{n-(n-3)}{n(n-3)}=\frac{3}{n(n-3)}.
Portanto o termo geral é
a_n=\frac{3}{n(n-3)}.
A extensão natural para variável real é a função
f(x)=\frac{3}{x(x-3)},
definida para x>3. Como a série começa em n=4, vamos considerar f no intervalo [4,+\infty).

Passo 3

Verifico que f é positiva e contínua em [4,+\infty).
  • Positividade: para x\ge4 tem-se x>3 e x(x-3)>0, logo f(x)=\dfrac{3}{x(x-3)}>0.
    (Aqui explicando: denominar positivo e numerador 3>0 implicam função positiva.)
  • Continuidade: f é uma função racional 3/(x^2-3x). Denominador x^2-3x=x(x-3) não se anula para x\ge4, logo f é contínua em [4,+\infty).
    (Racional é contínua onde o denominador é diferente de zero.)

Passo 4

Verifico que f é decrescente em [4,+\infty) calculando a derivada e analisando o sinal.
Calculo a derivada:
f(x)=3\bigl(x(x-3)\bigr)^{-1}=3(x^2-3x)^{-1}.
Aplicando a regra da cadeia e do quociente,
f'(x)=-3\cdot\frac{(2x-3)}{(x^2-3x)^2}.
Observe os sinais para x\ge4:
  • O numerador 2x-3 é positivo quando x>\tfrac{3}{2}; em particular, para x\ge4 tem-se 2x-3>0.
  • O denominador (x^2-3x)^2 é sempre positivo para x\ne0,3, e para x\ge4 é positivo.
Portanto f'(x)=-3\cdot\frac{2x-3}{(x^2-3x)^2}<0 para todo x\ge4. Conclusão: f é decrescente em [4,+\infty).
Assim f satisfaz as hipóteses do Teste da Integral: f é contínua, positiva e decrescente em [4,+\infty) e a_n=f(n).

Passo 5

Enunciado do Teste da Integral (resumido e explicado): se f é contínua, positiva e decrescente em [N,+\infty) e a_n=f(n), então a série \sum_{n=N}^{\infty} a_n converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge (isto é, tem valor finito). Aqui N=4.
Logo, para decidir convergência da série calculemos
\int_{4}^{\infty}\frac{3}{x(x-3)}\,dx.

Passo 6

Calculo a integral por frações parciais. Procuro constantes A,B\) tais que \[\frac{3}{x(x-3)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-3}.
Multiplicando por x(x-3) obtemos
3=A(x-3)+Bx=(A+B)x-3A.
Comparando coeficientes:
\begin{cases} A+B=0,\\[4pt] -3A=3. \end{cases}
Da segunda equação A=-1\]. Então \(B=1. Portanto
\frac{3}{x(x-3)}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-3}.
Integro:
\int_{4}^{t}\frac{3}{x(x-3)}\,dx=\int_{4}^{t}\left(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x-3}\right)\,dx =\bigl[-\ln x+\ln(x-3)\bigr]_{4}^{t}.
Aplicando o limite impróprio t\to\infty:
\int_{4}^{\infty}\frac{3}{x(x-3)}\,dx=\lim_{t\to\infty}\ln\!\left(\frac{t-3}{t}\right)-\ln\!\left(\frac{4-3}{4}\right).
Agora \displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{t-3}{t}=1, então \displaystyle\lim_{t\to\infty}\ln\!\left(\frac{t-3}{t}\right)=\ln 1=0. E \ln\!\left(\dfrac{4-3}{4}\right)=\ln\!\left(\dfrac{1}{4}\right)=-\ln 4. Assim
\int_{4}^{\infty}\frac{3}{x(x-3)}\,dx=0-(-\ln 4)=\ln 4,
que é finito. Portanto a integral imprópria converge.]

Passo 7

Pelo Teste da Integral, como a integral \displaystyle\int_{4}^{\infty}f(x)\,dx converge e f satisfaz as hipóteses (contínua, positiva, decrescente em [4,\infty)), a série
\sum_{n=4}^{\infty}\left[\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right]
converge. Bom trabalho — já que a integral deu \ln 4, a série não só converge como tem comportamento controlado.

Passo 8

(Observação útil e didática: a própria série é telescópica, então dá para obter a soma exata.) Considere a soma parcial S_N=\sum_{n=4}^{N}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right). Reescrevendo os termos:
S_N=\sum_{k=1}^{N-3}\frac{1}{k}-\sum_{k=4}^{N}\frac{1}{k}.
Ao combinar as duas somas, muitos termos se cancelam e fica
S_N=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{N-2}+\frac{1}{N-1}+\frac{1}{N}\right).
Fazendo limite N\to\infty os três últimos termos vão a zero, logo a soma da série é
\sum_{n=4}^{\infty}\left(\frac{1}{n-3}-\frac{1}{n}\right)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6}.

Resposta

A série converge; soma =\dfrac{11}{6}.

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