Determine a convergência ou não da série \sum a_{n} onde o termo geral a_{n} é dado por:
\frac{e^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a série \sum a_{n} converge ou diverge, onde o termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{e^{n}}{n!}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O termo geral é \displaystyle a_{n}=\frac{e^{n}}{n!}.
  • Presume-se a soma sobre n de 1 a \infty (caso comum).
    Nada mais foi fornecido; o objetivo é decidir convergência (absoluta/condicional) ou divergência.

Passo 2

Vou usar o Teste da Razão (teste de D’Alembert), que é muito prático quando aparecem fatoriais. O teste diz o seguinte: para uma série \sum a_{n} (com a_{n}\neq0 a partir de algum n),
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|
  • se L<1, a série converge absolutamente (logo converge);
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui todas as operações com n e com os a_n vão ser escritas e explicadas passo a passo.

Passo 3

Calcular a razão \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Substituindo \displaystyle a_n=\frac{e^n}{n!} e \displaystyle a_{n+1}=\frac{e^{n+1}}{(n+1)!}, temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{e^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{e^{n}}{n!}} = \frac{e^{n+1}}{e^{n}}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}.
Agora explique as simplificações: \dfrac{e^{n+1}}{e^n}=e. E \dfrac{n!}{(n+1)!}=\dfrac{1}{n+1} porque (n+1)!=(n+1)\cdot n!. Portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n} = e\cdot\frac{1}{n+1} = \frac{e}{n+1}.

Passo 4

Agora calculamos o limite do valor absoluto da razão quando n\to\infty:
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{e}{n+1}.
Como o numerador \,e é constante e o denominador \,n+1 cresce para +\infty, o quociente tende a zero. Logo
L=0.
Como 0<1, pelo Teste da Razão a série converge absolutamente.

Passo 5

Explicando o que significa na prática: convergência absoluta significa que \sum |a_n| converge. Aqui os a_n são positivos, então \sum a_n converge. Intuitivamente, o fatorial n! cresce muito mais rápido que a exponencial e^{n}, por isso os termos vão a zero rápido o suficiente para a soma convergir.

Passo 6

Comentário adicional (útil para a prova): é possível calcular a soma explícita se a série começar em n=0. Lembra da série de Taylor da exponencial:
e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}\quad\text{para todo }x\in\mathbb{R}.
Escolhendo x=e obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{n}}{n!}=e^{e}.
Portanto, se a soma da questão for \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{n}}{n!}, o valor da soma é \,e^{e}. Se a soma for a partir de n=1 (caso mais comum quando não se especifica), então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n}}{n!}=e^{e}-1,
porque está-se apenas retirando o termo n=0, que vale \dfrac{e^{0}}{0!}=1.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).
Se a soma começa em n=0, o valor da soma é e^{e}.
Se a soma começa em n=1, o valor da soma é e^{e}-1.

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