Determine a convergência da seguinte integral imprópria:
integral0^1 1x(ln x)^3 d x

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da integral imprópria
integral0^11x(ln x)^3,dx
O conteúdo aqui é de integrais impróprias com singularidade em ponto interior ou de contorno. Vamos identificar onde há problema (em x=0 e em x=1) e usar a técnica de substituição u=ln x para tratar o integrando.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = ln x, du = dxx,
os limites em x se transformam em:
xto0^+implies uto-infty, xto1^-implies uto0^-
Assim a integral vira
integral0^11x(ln x)^3,dx =integralu=-infty^0u^-3,du
Agora temos uma única singularidade em u=0, pois u^-3 explode quando uto0.

Passo 3

Vamos calcular a primitiva de u^-3:
integral u^-3,du =integral u^-3,du =u^-2-2 =-12u^2
Logo
integral-A^-,varepsilonu^-3,du =[-12u^2]u=-A^u=-varepsilon =-12(-varepsilon)^2 - l(-12(-A)^2r) =-12varepsilon^2 + 12A^2
Agora fazemos Atoinfty e varepsilonto0^+. Quando Atoinfty o termo tfrac12A^2to0, mas quando varepsilonto0^+ o termo tfrac12varepsilon^2to+infty. Portanto
integral-infty^0u^-3,du =-limvarepsilonto0^+12varepsilon^2 =-infty,
ou seja, a integral diverge (vai a -infty).

Resposta

A integral imprópria diverge (não converge).

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