Calcule:
integral1^infty sin ^2 xx^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral1^inftysin^2 xx^2,dx
O conteúdo principal aqui é o tratamento de integrais impróprias e o uso de integração por partes para transformar em uma integral de tipo integral sin tt,dt, que se relaciona à função integral seno definida por
Si(u)=integral0^usin tt,dt,
além do valor conhecido
integral0^inftysin tt,dt=pi2

Passo 2

Aplicamos integração por partes em
integral1^inftysin^2 xx^2,dx
escolhendo
u=sin^2 x, dv=dxx^2
Então
du=2sin xcos x,dx=sin(2x),dx, v=-1x

Passo 3

Pela fórmula de partes,
integral1^inftysin^2 xx^2,dx =lu,vr|1^infty -integral1^inftyv,du =l[-sin^2 xxr]1^infty +integral1^inftysin(2x)x,dx
No limite xtoinfty temos sin^2 x/xto0, e em x=1 fica -(-sin^2 1/1)=sin^2 1. Logo
integral1^inftysin^2 xx^2,dx =sin^2 1 +integral1^inftysin(2x)x,dx

Passo 4

Para tratar integral1^inftysin(2x)x,dx fazemos a troca de variável
t=2x, dt=2,dx Longrightarrow dx=dt2, x= t2
Os limites x=1to t=2 e xtoinftyto ttoinfty, portanto
integral1^inftysin(2x)x,dx =integral2^inftysin t(t/2)cdotdt2 =integral2^inftysin tt,dt

Passo 5

Sabendo que
integral0^inftysin tt,dt=pi2
e definindo Si(u)=integral0^usin tt,dt, temos
integral2^inftysin tt,dt =integral0^inftysin tt,dt -integral0^2sin tt,dt =pi2-Si(2)

Resposta

integral1^inftysin^2 xx^2,dx =sin^2 1 ;+;pi2;-;Si(2)

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