A integral abaixo não pode ser calculada por funções elementares. Use o Teorema da Comparação para decidir sobre sua convergência:
integral0^infty e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para decidir sobre a convergência da integral imprópria
integral0^infty e^-x^2,dx
usando o Teorema da Comparação. O conteúdo envolvido é análise de integrais em domínios ilimitados e comparação com funções cuja convergência já conhecemos.

Passo 2

Como o problema só é impróprio em xtoinfty (em x=0 a função é contínua), dividimos a integral em duas partes:
integral0^infty e^-x^2,dx = integral0^1 e^-x^2,dx ;+;integral1^infty e^-x^2,dx

Passo 3

No intervalo [0,1] temos x^2>=0, então
e^-x^2<= e^0=1
Pelo Teorema da Comparação,
integral0^1 e^-x^2,dx ;<=;integral0^11,dx = 1,
que é finito.

Passo 4

No intervalo [1,infty), para x>=1 vale x^2>= x, logo
e^-x^2<= e^-x
Sabemos que
integral1^infty e^-x,dx = l[-e^-xr]1^infty = 0 - (-e^-1) = e^-1,
que converge. Assim, pelo Teorema da Comparação,
integral1^infty e^-x^2,dx
também converge.

Passo 5

Como ambas as partes integral0^1 e^-x^2,dx e integral1^infty e^-x^2,dx são finitas, a integral total
integral0^infty e^-x^2,dx
é a soma de quantidades convergentes e, portanto, converge.

Resposta

A integral integral0^infty e^-x^2,dx é convergente.

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