E) Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
e, se convergir, determinar sua soma. O conteúdo principal é reconhecer que podemos decompor em duas séries geométricas e usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita.
Passo 2
Escrevemos a série como soma de duas:
Em cada termo, extraímos constantes para ficar na forma de soma geométrica:
Passo 3
Verificamos a convergência de cada série geométrica. As razões são
ambas com
, logo cada série converge.
Passo 4
Usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita iniciando em
:
Assim,
Passo 5
Somando as duas parcelas:
Resposta
A série converge e sua soma é
.