E) Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
sumk=2^infty 2^k+1 + 2cdot 7^k9^k
e, se convergir, determinar sua soma. O conteúdo principal é reconhecer que podemos decompor em duas séries geométricas e usar a fórmula da soma de uma progressão geométrica infinita.

Passo 2

Escrevemos a série como soma de duas:
sumk=2^infty 2^k+19^k ;+; sumk=2^infty 2cdot 7^k9^k
Em cada termo, extraímos constantes para ficar na forma de soma geométrica:
2sumk=2^inftyl(29r)^k e 2sumk=2^inftyl(79r)^k

Passo 3

Verificamos a convergência de cada série geométrica. As razões são
r1 = 29, r2 = 79,
ambas com lvert rirvert<1, logo cada série converge.

Passo 4

Usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita iniciando em k=2:
sumk=2^infty r^k = r^21-r
Assim,
2sumk=2^inftyl(29r)^k =2cdot(2/9)^21-2/9 =2cdot4/817/9 =863,
2sumk=2^inftyl(79r)^k =2cdot(7/9)^21-7/9 =2cdot49/812/9 =499

Passo 5

Somando as duas parcelas:
863 + 499 = 863 + 34363 = 35163 = 397

Resposta

A série converge e sua soma é 397.

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