Nos exercícios de 2 a 20, calcule a integral de linha ao longo de C .
integralc x y^4 d s, onde C é o arco da circunferência x^2+y^2=16 de (0,-4) a(0,4).

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de linha escalar
integralCx,y^4,ds
onde C é o arco da circunferência x^2+y^2=16 que vai de (0,-4) a (0,4).
O conteúdo envolvido é integral de linha com elemento de comprimento ds, então vamos parametrizar o arco e usar ds=| r,'(t)|,dt.

Passo 2

Parametrizamos o semicírculo direito de raio 4 por
r(t) = (x(t),y(t)) = l(4cos t,;4sin tr),
com t variando de -tfracpi2 (ponto (0,-4)) até tfracpi2 (ponto (0,4)).

Passo 3

Calculamos ds e expressamos x,y^4 em função de t:
r,'(t)=(-4sin t,;4cos t), | r,'(t)|=raiz(-4sin t)^2+(4cos t)^2=4,
logo ds=4,dt. Além disso
x(t)=4cos t, y(t)^4=(4sin t)^4=4^4sin^4 t
Substituindo na integral,
integralC x,y^4,ds =integral-pi2^pi24cos t;l(4^4sin^4 tr);4,dt =4096integral-pi2^pi2cos t,sin^4 t,dt

Passo 4

Note que f(t)=cos t,sin^4 t é função par, então
integral-pi2^pi2cos t,sin^4 t,dt =2integral0^pi2cos t,sin^4 t,dt
Fazendo a substituição u=sin t, du=cos t,dt, quando t=0 temos u=0 e quando t=tfracpi2 temos u=1. Portanto,
integral0^pi2cos t,sin^4 t,dt =integral0^1u^4,du =[u^55]0^1 =15
Assim
integral-pi2^pi2cos t,sin^4 t,dt =2cdot15 =25,
e a integral original vale
4096cdot25 =81925

Resposta

81925

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