Nos exercícios de 2 a 20, calcule a integral de linha ao longo de C .
integralC y d x+z d y+x d z, onde C é o gráfico de x=sent, y=2 sent, z=sen^2 t, 0 <= t <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
integralCy,dx + z,dy + x,dz
onde C é a curva parametrizada por
x=sin t, y=2sin t, z=sin^2 t, 0<= t<= tfracpi2
O conteúdo aqui é integral de linha de uma 1-forma; vamos parametrizar e obter dx, dy e dz em função de dt.

Passo 2

Derivamos cada componente em relação a t:
dx = cos t,dt, dy = 2cos t,dt, dz = 2sin tcos t,dt

Passo 3

Substituímos na integral:
y,dx + z,dy + x,dz = 2sin tcdotcos t,dt + sin^2 tcdot 2cos t,dt + sin tcdot 2sin tcos t,dt
Agrupando termos:
2sin tcos t + 2sin^2 tcos t + 2sin^2 tcos t = 2sin tcos t + 4sin^2 tcos t

Passo 4

Calculamos as duas integrais separadamente:
integral0^pi/22sin tcos t,dt = integral0^pi/2sin(2t),dt = l[-tfrac12cos(2t)r]0^pi/2 = 1
  1. Fazendo u=sin t, du=cos t,dt:
integral0^pi/24sin^2 tcos t,dt = integral0^14u^2,du = l[tfrac43u^3r]0^1 = tfrac43

Passo 5

Somando os resultados:
1 + tfrac43 = tfrac73

Resposta

tfrac73

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