Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
10) sumk=2^infty 2^k+1+2.7^k9^k

Passo 1

Temos a série infinita sumk=2^infty 2^k+1+2cdot7^k9^k. O conteúdo é séries geométricas: precisamos verificar convergência (isto é, se o módulo da razão é menor que 1) e, em caso afirmativo, calcular a soma pela fórmula apropriada.

Passo 2

Vamos separar o termo geral em duas parcelas:
2^k+1+2cdot7^k9^k = 2cdot2^k9^k + 2cdot7^k9^k = 2l(tfrac29r)^k + 2l(tfrac79r)^k

Passo 3

Identificamos duas séries geométricas:
sumk=2^infty 2(2/9)^k e sumk=2^infty 2(7/9)^k. Como |2/9|<1 e |7/9|<1|, ambas convergem.

Passo 4

Usamos a fórmula sumk=2^infty r^k = r^21-r:
  • Para r=2/9:
sumk=2^infty l(tfrac29r)^k = (2/9)^21-2/9 = 4/817/9 = 463,
e multiplicando por 2: 2cdottfrac463 = tfrac863
- Para r=7/9:
sumk=2^infty l(tfrac79r)^k = (7/9)^21-7/9 = 49/812/9 = 4918,
e multiplicando por 2: 2cdottfrac4918 = tfrac499

Passo 5

Somando as duas parcelas:
863 + 499 = 863 + 34363 = 35163 = 397

Resposta

A série converge e sua soma é tfrac397.

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