Se f+g é derivável em x0 então f e g são deriváveis em x0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se a soma de duas funções $ f + g $ é derivável em $ x_0 $, então cada uma das funções $ f $ e $ g $ também são deriváveis nesse ponto. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável e como as propriedades de limites se aplicam.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é derivabilidade. Uma função $ h $ é derivável em $ x_0 $ se o limite
h
existe. Esse limite é chamado de derivada de $ h $ em $ x_0 $.

Passo 3

Sabemos que $ f + g $ é derivável em $ x_0 $. Então, o limite
f + g
existe.

Passo 4

Vamos separar os termos na fração:
f(x) - f(x0)x - x0 + g(x) - g(x0)x - x0
Isso porque a soma de duas frações com o mesmo denominador é igual à soma dos numeradores dividida pelo denominador.

Passo 5

Usando a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites (quando ambos existem), temos:
limx to x0 f(x) - f(x0)x - x0 + limx to x0 g(x) - g(x0)x - x0

Passo 6

Como o limite da soma $ f + g $ existe, ambos os limites individuais devem existir. Ou seja,
f + g
e
limx to x0 f(x) - f(x0)x - x0
existem, o que significa que $ f $ e $ g $ são deriváveis em $ x_0 $.

Resposta

Portanto, mostramos que se $ f + g $ é derivável em $ x_0 $, então as funções $ f $ e $ g $ também são deriváveis em $ x_0 $.

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