Se
é derivável em
então
e
são deriváveis em
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que se a soma de duas funções $ f + g $ é derivável em $ x_0 $, então cada uma das funções $ f $ e $ g $ também são deriváveis nesse ponto. Pra resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser derivável e como as propriedades de limites se aplicam.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é derivabilidade. Uma função $ h $ é derivável em $ x_0 $ se o limite
existe. Esse limite é chamado de derivada de $ h $ em $ x_0 $.
Passo 3
Sabemos que $ f + g $ é derivável em $ x_0 $. Então, o limite
existe.
Passo 4
Vamos separar os termos na fração:
Isso porque a soma de duas frações com o mesmo denominador é igual à soma dos numeradores dividida pelo denominador.
Passo 5
Usando a propriedade dos limites que diz que o limite da soma é a soma dos limites (quando ambos existem), temos:
Passo 6
Como o limite da soma $ f + g $ existe, ambos os limites individuais devem existir. Ou seja,
e
existem, o que significa que $ f $ e $ g $ são deriváveis em $ x_0 $.
Resposta
Portanto, mostramos que se $ f + g $ é derivável em $ x_0 $, então as funções $ f $ e $ g $ também são deriváveis em $ x_0 $.