Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
(15)
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Passo 1
O enunciado pede a convergência da série
.
O conteúdo envolvido é séries numéricas, em particular séries geométricas, e precisamos usar o teste de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma de uma série geométrica.
O conteúdo envolvido é séries numéricas, em particular séries geométricas, e precisamos usar o teste de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma de uma série geométrica.
Passo 2
Separamos a soma em duas séries menores:
Passo 3
Reescrevemos cada termo como potência com razão fixa:
Passo 4
Cada série é geométrica com razão
tal que
, logo ambas convergem.
Para vale
Para
Passo 5
Calculamos as somas:
Somando os dois resultados:
Resposta
A série converge e sua soma é
.