Determine a convergência das seguintes séries. Se convergirem, determine a sua soma.
(15) sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k

Passo 1

O enunciado pede a convergência da série
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k.
O conteúdo envolvido é séries numéricas, em particular séries geométricas, e precisamos usar o teste de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma de uma série geométrica.

Passo 2

Separamos a soma em duas séries menores:
sumk=1^infty 2^k-2+3^k+15^k = sumk=1^infty 2^k-25^k + sumk=1^infty 3^k+15^k

Passo 3

Reescrevemos cada termo como potência com razão fixa:
2^k-25^k = 2^k4,15^k = 14l(25r)^k, 3^k+15^k = 3;3^k5^k = 3l(35r)^k

Passo 4

Cada série é geométrica com razão r tal que lvert rrvert<1, logo ambas convergem.
Para lvert rrvert<1 vale
sumk=1^infty r^k = r1-r

Passo 5

Calculamos as somas:
sumk=1^infty 14l(25r)^k = 14,tfrac251-tfrac25 = 14,tfrac25tfrac35 = 16,
sumk=1^infty 3l(35r)^k = 3,tfrac351-tfrac35 = 3,tfrac35tfrac25 = 92
Somando os dois resultados:
16 + 92 = 1 + 276 = 286 = 143

Resposta

A série converge e sua soma é 143.

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